原子堆積因子

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晶體學裡,原子堆積因子(或称APF)是計算一個晶體的體積裡原子體積佔的比例的函數。在計算前,必須假定原子是堅硬的球體,而且有確定的表面(而不是含糊不清的電子雲)。對只有一種元素晶體來說,原子堆積因子的數學表示方法是:

\mathrm{APF} = \frac{N_\mathrm{atoms} V_\mathrm{atom}}{V_\mathrm{crystal}}

在這裡,Natoms 是一個晶體原子的數量,而Vatoms 是每個原子的體積,而而Vcrystal晶體的體積。目前發現最密的晶體的原子堆積因子值大約是0.74。

例子[编辑]

体心立方结构

体心立方晶格原胞在立方体的每一个角上含有八个原子,在中心含有一个原子。由于每一个角上的原子的体积都由相邻的晶胞共享,因此每一个体心立方晶胞含有两个原子。

每一个角上的原子都与中心的原子接触。从立方体的一个角到中心,然后再到另一个角的直线的长度为4r,其中r是原子的半径。根据几何,对角线的长度为a√3。因此,体心立方结构的每一条边的长度与原子的半径有以下的关系:

a = \frac{4r}{\sqrt{3}}.

知道了球体的体积的公式后,便可以算出原子堆积因子:

\mathrm{APF} = \frac{N_\mathrm{atoms} V_\mathrm{atom}}{V_\mathrm{crystal}}
= \frac{2 (4/3)\pi r^3}{(4r/\sqrt{3})^3}
= \frac{\pi\sqrt{3}}{8}
\approx 0.68.\,\!

对于六方密堆积结构,也可进行类似的推导。把六边形的边长记为a,而把六边形的高记为c。那么:

a = 2 \times r
c = (\sqrt{\frac{2}{3}})(4r).

于是便可以算出原子堆积因子:

\mathrm{APF} = \frac{N_\mathrm{atoms} V_\mathrm{atom}}{V_\mathrm{crystal}}
= \frac{6 (4/3)\pi r^3}{[(3\sqrt{3})/2](a^2)(c)}
= \frac{6 (4/3)\pi r^3}{[(3\sqrt{3})/2](2r)^2(\sqrt{\frac{2}{3}})(4r)}
= \frac{6 (4/3)\pi r^3}{[(3\sqrt{3})/2](\sqrt{\frac{2}{3}})(16r^3)}
= \frac{\pi}{\sqrt{18}}
\approx 0.74.\,\!

一些常见结构的原子堆积因子[编辑]

利用类似的方法,所有晶体结构的原子堆积因子都可以求出。这里列出最常见的晶体结构的原子堆积因子,精确到小数点后第二位。

参考文献[编辑]

  1. Schaffer, Saxena, Antolovich, Sanders, and Warner. The Science and Design of Engineering Materials Second Edition. New York: WCB/McGraw-Hill. 1999: 81–88. 
  2. Callister, W. Materials Science and Engineering Sixth Edition. San Francisco: John Wiley and Sons. 2002: 105–114.