双伽玛函数

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复平面上的双伽玛函数 \psi(s) 。点 s 的颜色与 \psi(s) 的值有关。强烈的颜色意味着接近于零的值,而色彩则与辐角有关。

双伽玛函数伽玛函数对数导数

\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.

它是第一个多伽玛函数

与调和数的关系[编辑]

双伽玛函数,通常用ψ0(x)、ψ0(x)或\Digamma来表示,与调和数有以下的关系:

\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\!

其中Hn是第n个调和数,γ是欧拉-马歇罗尼常数。对于半整数的值,它可以表示为:

\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + 
\sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1}

积分表示法[编辑]

它有以下的积分表示法:

\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\,dt

也可以写为

\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx

这可以从调和数的欧拉积分公式得出。

泰勒级数[编辑]

双伽玛函数有一个有理ζ级数,由z=1的泰勒级数给出。这是

\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k,

当|z|<1时收敛。在这里,\zeta(n)黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推导出。

牛顿级数[编辑]

双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出:

\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k}

其中\textstyle{s \choose k}二项式系数

反射公式[编辑]

双伽玛函数满足一个反射公式,类似于伽玛函数的反射公式:

\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }

递推关系[编辑]

双伽玛函数满足以下的递推关系

\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}

高斯和[编辑]

双伽玛函数具有以下形式的高斯和

\frac{-1}{\pi k} \sum_{n=1}^k 
\sin \left( \frac{2\pi nm}{k}\right) \psi \left(\frac{n}{k}\right) =
\zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -B_1 \left(\frac{m}{k}\right) = 
\frac{1}{2} - \frac{m}{k}

其中m是整数,且0<m<k。在这里,ζ(s,q)是赫尔维茨ζ函数B_n(x)是一个伯努利多项式乘法定理的一种特殊情况是:

\sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right)
 =-k(\gamma+\log k),

一个推广为:

\sum_{p=0}^{q-1}\psi(a+p/q)=q(\psi(qa)-\ln(q)),

其中假设了q是自然数,而1-qa则不是。

高斯双伽玛定理[编辑]

对于正整数 m \, k \,  \left(m<k \right)\,,双伽玛函数可以用初等函数来表示:

\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) 
-\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right)
+2\sum_{n=1}^{\lfloor \frac{k-1}{2}\rfloor}
\cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right)
\ln \sin\left(\frac{n\pi}{k} \right)

特殊值[编辑]

双伽玛函数有以下的特殊值:

 \psi(1) = -\gamma\,\!
 \psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln2 - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln3 - \gamma
 \psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{\sqrt2}{2} \left[\pi + \ln(3+2\sqrt{2})\right] - \gamma
 \psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma

参见[编辑]

参考文献[编辑]