双伽玛函数

复平面上的双伽玛函数$\psi(s)$。点$s$的颜色与$\psi(s)$的值有关。强烈的颜色意味着接近于零的值，而色彩则与辐角有关。

双伽玛函数是伽玛函数的对数导数。

$\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.$

它是第一个多伽玛函数。

与调和数的关系

双伽玛函数，通常用ψ₀(x)、ψ⁰(x)或$\Digamma$来表示，与调和数有以下的关系：

$\psi(n) = H_{n-1}-\gamma\!$

其中H_n是第n个调和数，γ是欧拉-马歇罗尼常数。对于半整数的值，它可以表示为：

$\psi\left(n+{\frac{1}{2}}\right) = -\gamma - 2\ln 2 + \sum_{k=1}^n \frac{2}{2k-1}$

积分表示法

它有以下的积分表示法：

$\psi(x) = \int_0^{\infty}\left(\frac{e^{-t}}{t} - \frac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}\right)\,dt$

也可以写为

$\psi(s+1)= -\gamma + \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx$

这可以从调和数的欧拉积分公式得出。

泰勒级数

双伽玛函数有一个有理ζ级数，由z=1的泰勒级数给出。这是

$\psi(z+1)= -\gamma -\sum_{k=1}^\infty \zeta (k+1)\;(-z)^k$,

当|z|<1时收敛。在这里，$\zeta(n)$是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推导出。

牛顿级数

双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出：

$\psi(s+1)=-\gamma-\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k} {s \choose k}$

其中$\textstyle{s \choose k}$是二项式系数。

反射公式

双伽玛函数满足一个反射公式，类似于伽玛函数的反射公式：

$\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi\,\!\cot{ \left ( \pi x \right ) }$

递推关系

双伽玛函数满足以下的递推关系：

$\psi(x + 1) = \psi(x) + \frac{1}{x}$

高斯和

双伽玛函数具有以下形式的高斯和：

$\frac{-1}{\pi k} \sum_{n=1}^k \sin \left( \frac{2\pi nm}{k}\right) \psi \left(\frac{n}{k}\right) = \zeta\left(0,\frac{m}{k}\right) = -B_1 \left(\frac{m}{k}\right) = \frac{1}{2} - \frac{m}{k}$

其中m是整数，且$0<m<k$。在这里，ζ(s,q)是赫尔维茨ζ函数，$B_n(x)$是一个伯努利多项式。乘法定理的一种特殊情况是：

$\sum_{n=1}^k \psi \left(\frac{n}{k}\right) =-k(\gamma+\log k),$

一个推广为：

$\sum_{p=0}^{q-1}\psi(a+p/q)=q(\psi(qa)-\ln(q)),$

其中假设了q是自然数，而1-qa则不是。

高斯双伽玛定理

对于正整数$m \,$和$k \,$ $\left(m<k \right)\,$，双伽玛函数可以用初等函数来表示：

$\psi\left(\frac{m}{k}\right) = -\gamma -\ln(2k) -\frac{\pi}{2}\cot\left(\frac{m\pi}{k}\right) +2\sum_{n=1}^{\lfloor \frac{k-1}{2}\rfloor} \cos\left(\frac{2\pi nm}{k} \right) \ln \sin\left(\frac{n\pi}{k} \right)$

特殊值

双伽玛函数有以下的特殊值：

$\psi(1) = -\gamma\,\!$

$\psi\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln{2} - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{3}\right) = -\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3} - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{\pi}{2} - 3\ln2 - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{6}\right) = -\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln3 - \gamma$

$\psi\left(\frac{1}{8}\right) = -\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{\sqrt2}{2} \left[\pi + \ln(3+2\sqrt{2})\right] - \gamma$

$\psi\left(\frac{3}{4}\right) = \frac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma$

参见

• 伽玛函数
• 三伽玛函数
• 多伽玛函数

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 . 参见第§6.3节。
• 埃里克·韦斯坦因, Digamma function at MathWorld