双射

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一个双射函数

集合论中,一由集合X至集合Y函數稱為雙射的,若對每一在Y內的y,存在唯一一個在X內的x与其对应;對每一在X內的x,存在唯一一個在Y內的y与其对应;不存在未配对元素。

換句話說,f為雙射的若其為兩集合間的一對一對應,亦即同時單射滿射

例如,由整數集合\Z\Z的函數succ,其將每一個整數x連結至整數succ(x)=x+1,及另一函數sumdif,其將每一對實數(x,y)連結至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)。

一雙射函數亦稱為置換。後者一般較常使用在X=Y時。以由XY的所有雙射組成的集合標記為X{}\leftrightarrow{}Y.

雙射函數在許多數學領域扮演著很基本的角色,如在同構(和如同胚微分同構等相關概念)、置換群投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數[编辑]

一函數f為雙射的若且唯若其逆關係f−1也是個函數,而且亦為雙射。

兩個雙射函數f\;:\; X{}\leftrightarrow{}Yg\;:\; Y{}\leftrightarrow{}Z複合函數g o f亦為雙射函數。其反函數為(g o f)−1 = (f−1o (g−1)。

一个双射,左侧为单射,右侧为满射。

另一方面,若g o f為雙射的,則可以說f是單射的且g是滿射的。

一由XY的關係f為雙射函數若且唯若存在另一由YX的關係g,使得g o fX上的恆等函數,且f o gY上的恆等函數。必然地,此兩個集合會有相同的

雙射與勢[编辑]

XY有限集合,則其存在一兩集合的雙射函數若且唯若兩個集合有相同的元素個數。確實,在公理集合論裡,這被當做「相同元素個數」的定義,且廣義化至無限集合,並導致了基數的概念,一用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例[编辑]

  • 對任一集合X,其恆等函數均為雙射函數。
  • 其定義為f(x) = 2x + 1之由實數RR的函數f是雙射的,當對任一y,存在一唯一x = (y − 1)/2使得f(x) = y
  • 指數函數g : R \rightarrow R,其形式為g(x) = ex,不是雙射的:因為不存在一R內的x使得g(x) = −1,故g非為雙射。但若其陪域改成正實數R+ = (0,+∞),則g便是雙射的了;其反函數為自然對數函數 ln。
  • 函數h : R \rightarrow [0,+∞),其形式為h(x) = x²,不是雙射的:因為h(−1) = h(+1) = 1,故h非為雙射。但其定義域也改成[0,+∞),則h便是雙射的了;其反函數為正平方根函數。
  • \mathbf{R} \to \mathbf{R} : x \mapsto (x-1)x(x+1) = x^3 - x 不是雙射函數,因為−1、0和1都在其定義域裡且都映射至0。
  • \mathbf{R} \to [-1,1] : x \mapsto \sin(x)不是雙射函數,因為π/3和2π/3都在其定義域裡且都映射至\sqrt{3}/2

性質[编辑]

  • 一由實數RR的函數f是雙射的若且唯若其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
  • X為一集合,則由X至其本身的雙射函數,加上其複合函數(o)的運算,會形成一個,一個X對稱群,其標記為S(X)、SXX!。
  • 取一定義域的子集A及一陪域的子集B,則
|f(A)| = |A| 且 |f−1(B)| = |B|。
  • XY為具相同有限集合,且fX → Y,則下列三種說法是等價的:
  1. f 為一雙射函數。
  2. f 為一滿射函數。
  3. f 為一單射函數。

雙射與範疇論[编辑]

形式上,雙射函數恰好是集合與函數集合範疇內的同構

另見[编辑]