双曲函数

射线出原点交双曲线 $x^2-y^2=1$ 于点 $(\cosh\mbox{ }a,\sinh\mbox{ }a)$，这里的 $a$ 被称为双曲角，是这条射线、它关于 $x$ 轴的镜像和双曲线之间的面积。

在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数“sinh”和双曲余弦函数“cosh”（有时也把双曲正弦写作sh，双曲余弦写作ch，双曲正切写作th），从它们可以导出双曲正切函数“tanh”等等。其中的推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲函数，例如双曲正弦函数的反函数是“arsinh”（也叫做“arcsinh”或“asinh”），以此类推。

双曲函数出现于某些重要的线性微分方程的解中，譬如說定义悬链线和拉普拉斯方程。

双曲函数的定义域是实数，其自变量的值叫做双曲角。在複分析中，由于双曲函数是指数函数的有理函数，因此是整函数。

基本定义

sinh, cosh 和 tanh

csch, sech 和 coth

• $\sinh x = {{e^x - e^{ - x} } \over 2}$
• $\cosh x = {{e^x + e^{ - x} } \over 2}$
• $\tanh x = {{\sinh x} \over {\cosh x}}$
• $\coth x = {1 \over {\tanh x}}$
• ${\mathop{\rm sech}} x = {1 \over {\cosh x}}$
• ${\mathop{\rm csch}} x = {1 \over {\sinh x}}$

如同当$t$遍历实数集$\mathbb{R}$时，点 ($\cos t\!$, $\sin t\!$) 的轨迹是一个圆$x^2 + y^2 = 1$一样，当$t$遍历实数集$\mathbb{R}$时，点 ($\cosh t\!$, $\sinh t\!$) 的轨迹是直角双曲线 $x^2 - y^2 = 1$的右半边。这是因为有以下的恒等式：

$\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1 \,$

同时对于所有的 $t \in \mathbb{R}$ 都有 $\cosh t > 0$。

双曲函数是带有複數周期 $2 \pi i$ 的周期函数。

参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点($\cosh x\!$, $\sinh t\!$) 的直线之间的面积的两倍。

函数$\cosh x\!$是关于 y 轴对称的偶函数。

函数 $\sinh x\!$ 是奇函数，也就是说对任意的x，都有 -sinh x = sinh -x 且 $\sinh 0 = 0 \!$。

与三角函数的关系

双曲函数与三角函数有如下的关係:

• $\sinh x=-i\sin ix\,$
• $\cosh x=\cos ix\,$
• $\tanh x=-i\tan ix\,$
• $\coth x=i\cot ix\,$
• $\operatorname{sech}x=\sec ix$
• $\operatorname{csch}x=i\,\csc ix$

幾何關係

• 給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值（雙曲扇形面積除以半徑）得到雙曲函數，角α得到三角函數
• 在單位圓和單位雙曲線上，双曲函数与三角函数有如下的关係:
• 正弦同樣是從x軸到曲線的半弦。
• 餘弦同樣是從y軸到曲線的半弦（圖中的餘弦是長方形的另一條邊）。
• 正切同樣是過x軸上單位點（1,0）在曲線上的切線到終邊的長度。
• 餘切同樣是從y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和曲線連線之長度。
• 正割同樣是在一個有正切和單位長的直角三角形上，但邊不一樣。
• 餘割同樣是y軸與過終邊和曲線交點的切線與y軸的交點和原點之距離
• 角的量值可以從0到無限大，但α實際上只會介於0到$2\pi$（360度）之間，其餘是α的同界角，再繞著圓旋轉，故三角函數可以有周期。
• 雙曲角的量值可以從0到無限大，但α實際上不會超過$\frac{\pi}{4}$（45度），故無法和三角函數有周期性

恆等式

与双曲函数有关的恆等式如下:

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 \,$

• 加法公式：

$\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y \,$

$\cosh(x+y) = \cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y \,$

$\tanh(x+y) = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x \tanh y} \,$

• 二倍角公式：

$\sinh 2x\ = 2\sinh x \cosh x \,$

$\cosh 2x\ = \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \,$

• 半角公式：

$\cosh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x + 1}{2}$

$\sinh^2\frac{x}{2} = \frac{\cosh x - 1}{2}$

由于雙曲函數和三角函数之间的对应关系，雙曲函數的恆等式和三角函數的恒等式之间也是一一对应的。对于一个已知的三角函数公式，只需要將其中的三角函數轉成相應的雙曲函數，并将含有有兩個sinh的積的项（包括$\coth^2 x, \tanh^2 x, \operatorname{csch}^2 x , \sinh x \sinh y$）轉換正負號，就可得到相應的雙曲函數恆等式。如

• 三倍角公式：

三角函数的三倍角公式为：$\sin 3x\ = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$

而对应的双曲函数三倍角公式则是：$\sinh 3x\ = 3 \sinh x + 4 \sinh^3 x$

• 差角公式：

三角函数的差角公式为：$\cos(x-y)\ = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

而对应的双曲函数的差角公式则是：$\cosh(x-y)\ = \cosh x \cosh y - \sinh x \sinh y$

反双曲函数

主條目：反双曲函数

反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:

$\operatorname{arsinh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$

$\operatorname{arcosh}\, x = \ln(x \pm \sqrt{x^2 - 1})$

$\operatorname{artanh}\, x = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$

$\operatorname{arcoth}\, x = \ln\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1} = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}$

$\operatorname{arsech}\, x = \pm \ln\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x}$

$\operatorname{arcsch}\, x = \begin{cases} \ln\frac{1 - \sqrt{1 + x^2}}{x}, & \mbox{for }x 0\!\, \end{cases}$

双曲函数的导数

$\frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,$

$\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,$

$\frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \hbox{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,$

双曲函数的泰勒展開式

雙曲函數也可以以泰勒級數展開:

$\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}$

$\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi$ (罗朗级数)

$\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\operatorname {csch}\, x = \frac {1} {x} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \left |x \right | < \pi$ (罗朗级数)

其中

$B_n \,$ 是第n項 伯努利數

$E_n \,$ 是第n項 欧拉數

双曲函数的积分

$\int\sinh cx\,dx = \frac{1}{c}\cosh cx + C$

$\int\cosh cx\,dx = \frac{1}{c}\sinh cx + C$

$\int \tanh cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\cosh cx| + C$

$\int \coth cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\sinh cx| + C$

$\int \operatorname{sech} cx\,dx = \frac{1}{c}\arctan (\sinh cx) + C$

$\int \operatorname{csch} cx\,dx = \frac{1}{c}\ln\left|\tanh\frac{cx}{2}\right| + C$

参见

• 反双曲函数
• 双曲函数符号
• 三角函数
• 古德曼函数

外部鏈接

• Yan Kun. Extended form of hyperbolic tangent function and equation of natural saturation process (2011)