反函數

函数ƒ和它的反函数ƒ^–1。由于ƒ把a映射到3，因此反函数ƒ^–1把3映射回到a。

在數學裡，反函數為對一給定函數做逆運算的函數。更正式些地說，若f為一定義域為X的函數，則$f^{-1}$為其反函數若且唯若對每一$x \in X$，都會有：

$f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x.\,$

例如，若給定一函數$\colon x\to 3x+2$，則其反函數為$\colon x\to\frac{x-2}{3}$。這通常寫成：

$f\colon x\to 3x+2$

$f^{-1}\colon x\to\frac{x-2}{3}$

上標"−1"指的並不是冪。類似地，只要不在三角學或微積分裡，$f^{2}\left(x\right)$會是指「作用f兩次」，即為f(f(x))，而不是指f(x)的平方。例如，若$f\colon x\to 3x+2$，則$f^{2}\colon=3\left(3x + 2\right)+2=9x+8$。但在三角學裡，因為歷史上的原因，sin²(x)通常確實是指sin(x)的平方。而字首arc有時則被用來標記反三角函數，如arcsin x為sin(x)的逆運算。在微積分裡，f ⁽ⁿ⁾(x)是用來指f的n次微分的。

若一函數有反函數，此函數便稱為可逆的。

簡單規則

一般而言，當f(x)為一任意函數，且g為其反函數，則g(f(x)) = x且f(g(x)) = x。換句話說，一反函數會取消原函數的作用。在上述例子，可以證明f⁻¹確為反函數，以將$\frac{x-2}{3}$代入f的方式，如此

$3*\frac{x-2}{3}+2 =x$。

相似地，也可以將f代入f⁻¹來證明。

確實，f的反函數g的一等價定義，為需要g o f為於f定義域上的恆等函數，且f o g為f陪域上的恆等函數，其中的"o"表示函數複合。

存在性

一函數f若要是一明確的反函數，它必須是一雙射函數，即：

• (單射)陪域上的每一元素都必須只被f映射到一次：不然其反函數將必須將元素映射到超到一個的值上去。
• (滿射)陪域上的每一元素都必須被f映射到：不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函數。

若f為一實變函數，則若f有一明確反函數，它必通過水平線測試，即一放在f圖上的水平線$y=k$必對所有實數k，通過且只通過一次。

另見

• 值域
• 逆關係
• 反函数定理