反函數

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函数ƒ和它的反函数ƒ–1。由于ƒ把a映射到3,因此反函数ƒ–1把3映射回到a

數學裡,反函數為對一給定函數做逆運算的函數。更正式些地說,設f為一函數,其定義域X值域Y。如果存在一函數g,其定義域和值域分別為X,\, Y,並對每一x \in X有:

f^{-1}(f(x))=x\,

則稱gf的反函數,記之為f^{-1}。注意上標「−1」指的並不是,跟在三角學裡特指\sin x平方的\sin^2 x不同。

例如,若給定一函數f: x\mapsto 3x+2,則其反函數為f^{-1}: x\mapsto\frac{x-2}{3}

若一函數有反函數,此函數便稱為可逆的

簡單規則[编辑]

一般而言,當f(x)為一任意函數,且g為其反函數,則g(f(x)) = xf(g(y)) = y。換句話說,一反函數會取消原函數的作用。在上述例子,可以證明f−1確為反函數,以將\frac{x-2}{3}代入f的方式,如此

3\times \frac{x-2}{3}+2 =x

類似地,也可以將f代入f−1來證明。

確實,f的反函數g的一等價定義,就是g o f為於f定義域上的恆等函數,且f o gf值域上的恆等函數。(其中的"o"表示函數複合

存在性[编辑]

如果一函數f有反函數,f必須是一雙射函數,即:

  • 單射陪域上的每一元素都只被f映射至多一次。
  • 滿射:陪域上的每一元素都必須被f映射到。

不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函數。

f為一实函数。若f有一反函數,它必通過水平線測試,即一放在f上的水平線y=k必對所有實數k,至多通過一次。換言之,當k位於f的值域時,y=k恰好通過f圖一次。

性質[编辑]

  • 原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。
  • 单调函数一定存在反函数,且反函数与原函数的单调性一致。

另見[编辑]