反函數

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函数ƒ和它的反函数ƒ–1。由于ƒ把a映射到3,因此反函数ƒ–1把3映射回到a

數學裡,反函數為對一給定函數做逆運算的函數。更正式些地說,若f為一定義域為X的函數,則f^{-1}為其反函數若且唯若對每一x \in X,都會有:

f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x\,

例如,若給定一函數f\colon x\to 3x+2,則其反函數為f^{-1}\colon x\to\frac{x-2}{3}

注意上標"−1"指的並不是,跟在三角學裡特指sin(x)平方的sin2(x)不同。

若一函數有反函數,此函數便稱為可逆的

簡單規則[编辑]

一般而言,當f(x)為一任意函數,且g為其反函數,則g(f(x)) = xf(g(x)) = x。換句話說,一反函數會取消原函數的作用。在上述例子,可以證明f−1確為反函數,以將\frac{x-2}{3}代入f的方式,如此

3\times \frac{x-2}{3}+2 =x

類似地,也可以將f代入f−1來證明。

確實,f的反函數g的一等價定義,就是g o f為於f定義域上的恆等函數,且f o gf陪域上的恆等函數。(其中的"o"表示函數複合

存在性[编辑]

如果一函數f有反函數,f必須是一雙射函數,即:

  • 單射陪域上的每一元素都必須只被f映射到一次,不然其反函數將必須把元素映射到超到一個的值上去。
  • 滿射陪域上的每一元素都必須被f映射到,不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函數。

f為一實變函數,則若f有一反函數,它必通過水平線測試,即一放在f圖上的水平線y=k必對所有實數k,通過且只通過一次。

性質[编辑]

另見[编辑]