反函數

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函数ƒ和它的反函数ƒ–1。由于ƒ把a映射到3,因此反函数ƒ–1把3映射回到a

數學裡,反函數為對一給定函數做逆運算的函數。更正式些地說,若f為一定義域為X的函數,則f^{-1}為其反函數若且唯若對每一x \in X,都會有:

f^{-1}(f(x))=f(f^{-1}(x))=x.\,

例如,若給定一函數\colon x\to 3x+2,則其反函數為\colon x\to\frac{x-2}{3}。這通常寫成:

f\colon x\to 3x+2
f^{-1}\colon x\to\frac{x-2}{3}

上標"−1"指的並不是。類似地,只要不在三角學微積分裡,f^{2}\left(x\right)會是指「作用f兩次」,即為f(f(x)),而不是指f(x)的平方。例如,若f\colon x\to 3x+2,則f^{2}\colon=3\left(3x + 2\right)+2=9x+8。但在三角學裡,因為歷史上的原因,sin2(x)通常確實是指sin(x)的平方。而字首arc有時則被用來標記反三角函數,如arcsin x為sin(x)的逆運算。在微積分裡,f (n)(x)是用來指f的n次微分的。

若一函數有反函數,此函數便稱為可逆的

簡單規則[编辑]

一般而言,當f(x)為一任意函數,且g為其反函數,則g(f(x)) = xf(g(x)) = x。換句話說,一反函數會取消原函數的作用。在上述例子,可以證明f−1確為反函數,以將\frac{x-2}{3}代入f的方式,如此

3*\frac{x-2}{3}+2 =x

相似地,也可以將f代入f−1來證明。

確實,f的反函數g的一等價定義,為需要g o f為於f定義域上的恆等函數,且f o gf陪域上的恆等函數,其中的"o"表示函數複合

存在性[编辑]

一函數f若要是一明確的反函數,它必須是一雙射函數,即:

  • 單射陪域上的每一元素都必須只被f映射到一次:不然其反函數將必須將元素映射到超到一個的值上去。
  • 滿射陪域上的每一元素都必須被f映射到:不然將沒有辦法對某些元素定義f的反函數。

f為一實變函數,則若f有一明確反函數,它必通過水平線測試,即一放在f圖上的水平線y=k必對所有實數k,通過且只通過一次。

性質[编辑]

另見[编辑]