反双曲函数

函数 artanh。

反双曲函数是双曲函数的反函数。与反圆函数不同之处是它的前缀是ar意即area(面积)，而不是arc(弧)。因为双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的，而圆角是以弧长与半径的比值定义。

定义

反双曲正弦函数

反双曲正弦函数的定义是：

$\operatorname{arsinh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$，其中$x \in \mathbb{R}$

證明

令$\displaystyle y=\sinh ^{-1}x$，那么$\displaystyle \sinh y=x$。

所以$x=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$

$\displaystyle 2x=e^{y}-e^{-y}$，因此有二次方程$\displaystyle e^{2y}-2xe^{y}-1=0$

解这个方程，得到$e^{y}$等于方程的两个根$\frac{2x\pm \sqrt{4x^{2}+4}}{2}=x\pm \sqrt{x^{2}+1}$之一。这两个根一正一负，由于$\displaystyle e^{y}$ 是正数，因此取正根。两边取自然对数之后就得到：

$y=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)$。

反双曲余弦函数

反双曲余弦函数的定义是：

$\operatorname{arcosh}\,x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1})$，其中$1 \le x < +\infty$

證明

设$1 \le x < +\infty$，令$y=\cosh ^{-1}x$，于是$\cosh y=x$。

所以$x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}$

$\displaystyle 2x=e^{y}+e^{-y}$，因此有二次方程$\displaystyle e^{2y}-2xe^{y}+1=0$

解这个方程，得到$\displaystyle e^{y}$等于方程的两个根$\frac{2x\pm \sqrt{4x^{2}-4}}{2}=x\pm \sqrt{x^{2}-1}$之一。这两个根一个大于1 而另一个小于1。这时一般取$y \ge 0$，也就是说$\displaystyle e^{y}$ 大于等于1，因此取大于1 的根$x + \sqrt{x^{2}-1}$。两边取自然对数之后就得到：

$y=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right)$。

其它反双曲函数

$\operatorname{artanh}\, x = \ln\left(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right), \operatorname{arcoth}\, x = \ln\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1} = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}, \operatorname{arsech}\, x = \pm \ln\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} , \operatorname{arcsch}\, x = \begin{cases} \ln\frac{1 - \sqrt{1 + x^2}}{x}, & \mbox{for }x 0\!\, \end{cases}$

反双曲函数的导数

$\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\ \end{align}$

对实数x：

$\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0 \end{align}$

求导范例： 设θ = arsinh x，则：

$\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

幂级数展开式

$\operatorname{arsinh}\, x$

$= x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots$

$= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1$

$\operatorname{arcosh}\, x$

$= \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right)$

$= \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1$

$\operatorname{artanh}\, x = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1$

$\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh}\, x^{-1}$

$= x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots$

$= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1$

$\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh}\, x^{-1}$

$= \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right)$

$= \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1$

$\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh}\, x^{-1}$

$= x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots$

$= \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1$

外部链接

• Inverse trigonometric functions at MathWorld