反双曲函数

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函数 artanh

反双曲函数双曲函数反函数。与反圆函数不同之处是它的前缀ar意即area(面积),而不是arc()。因为双曲角是以双曲线、通过原点直线以及其对x轴的映射三者之间所夹面积定义的,而圆角是以弧长与半径的比值定义。

定义[编辑]

反双曲正弦函数[编辑]

反双曲正弦函数的定义是:

\operatorname{arsinh}\, x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}),其中x \in \mathbb{R}

證明[编辑]

\displaystyle y=\sinh ^{-1}x ,那么\displaystyle \sinh y=x

所以x=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}
\displaystyle 2x=e^{y}-e^{-y} ,因此有二次方程\displaystyle e^{2y}-2xe^{y}-1=0
解这个方程,得到e^{y}等于方程的两个根\frac{2x\pm \sqrt{4x^{2}+4}}{2}=x\pm \sqrt{x^{2}+1}之一。这两个根一正一负,由于\displaystyle e^{y} 是正数,因此取正根。两边取自然对数之后就得到:

y=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1} \right)

反双曲余弦函数[编辑]

反双曲余弦函数的定义是:

\operatorname{arcosh}\,x=\ln (x+\sqrt{x^{2}-1}),其中1 \le x < +\infty

證明[编辑]

1 \le x < +\infty,令y=\cosh ^{-1}x,于是 \cosh y=x

所以x=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2}
\displaystyle 2x=e^{y}+e^{-y},因此有二次方程\displaystyle e^{2y}-2xe^{y}+1=0
解这个方程,得到\displaystyle e^{y}等于方程的两个根 \frac{2x\pm \sqrt{4x^{2}-4}}{2}=x\pm \sqrt{x^{2}-1}之一。
反函数的定义要求对应必须唯一,这里有两个根(且一个大于1 而另一个小于1),只能取一个,这时一般取y \ge 0
也就是说\displaystyle e^{y} 大于等于1,因此取大于1 的根x + \sqrt{x^{2}-1}
两边取自然对数之后就得到:
y=\ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1} \right)

其它反双曲函数[编辑]

\operatorname{artanh}\, x = \ln\frac{\sqrt{1 - x^2}}{1-x} = \frac{1}{2} \ln\frac{1+x}{1-x},\operatorname{arcoth}\, x = \ln\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x-1} = \frac{1}{2} \ln\frac{x+1}{x-1}, \operatorname{arsech}\, x = \pm \frac{1}{2} \ln\frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{1 - \sqrt{1 - x^2}} , \operatorname{arcsch}\, x = 
\begin{cases} 
 \ln\frac{1 - \sqrt{1 + x^2}}{x}, & \mbox{for }x  0\!\, 
\end{cases}

反双曲函数的导数[编辑]


\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh}\, x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcoth}\, x & {}= \frac{1}{1-x^2}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{-1}{x(x+1)\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{-1}{x^2\,\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}\\
\end{align}

对实数x


\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1-x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch}\, x & {}= \frac{\mp 1}{x\,\sqrt{1+x^2}}; \qquad \Re\{x\} \gtrless 0
\end{align}

求导范例: 设θ = arsinh x,则:

\frac{d\,\operatorname{arsinh}\, x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

幂级数展开式[编辑]

\operatorname{arsinh}\, x
= x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arcosh}\, x
= \ln 2x - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right)
= \ln 2x - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {(2n)} , \qquad x > 1
\operatorname{artanh}\, x = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arcsch}\, x = \operatorname{arsinh}\, x^{-1}
= x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| < 1
\operatorname{arsech}\, x = \operatorname{arcosh}\, x^{-1}
= \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right)
= \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0 < x \le 1
\operatorname{arcoth}\, x = \operatorname{artanh}\, x^{-1}
= x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots
= \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {(2n+1)} , \qquad \left| x \right| > 1
\operatorname{arcosh}(2x^2-1) = 2\operatorname{arcosh} x
\operatorname{arcosh}(2x^2+1) = 2\operatorname{arsinh} x

外部链接[编辑]

参见[编辑]