反常積分

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

反常积分又叫广义积分(“广义积分”为较早教科书的称呼,现在中国大陆已弃用),是对普通定积分的推广,指含有无穷上限/下限,或者被积函数含有瑕点的积分,前者称为无穷限广义积分,后者称为瑕积分(又叫无界函数的反常积分)。

无穷限广义积分[编辑]

定义[编辑]

无穷限广义积分指积分上限下限中含有无穷大()的积分,严格的数学定义如下:

设函数 f(x) 在 [a,+∞) 上任何闭区间都是可积的,积分

\int_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{u\to +\infty} \int_{a}^{u}f(x)dx

称为无穷限广义积分。当上述极限存在时,称广义积分\int_{a}^{\infty}f(x)dx=\lim_{u\to +\infty} \int_{a}^{u}f(x)dx收敛,当上述极限不存在时,称该广义积分发散。 类似的,设函数f(x) 在(-∞,a]上任何闭区间都是可积的,积分:\int_{-\infty}^{a}f(x)dx=\lim_{u\to -\infty} \int_{u}^{a}f(x)dx亦称为无穷限广义积分

定义的推广[编辑]

f(x)在(-∞,+∞)的任何闭区间上可积,且对于\foralla\in(-∞,+∞),广义积分\int_{-\infty}^{a}f(x)dx\int_{a}^{+\infty}f(x)dx都收敛,则广义积分\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx收敛,且\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\int_{-\infty}^{a}f(x)dx\int_{a}^{+\infty}f(x)dx,当\int_{-\infty}^{a}f(x)dx\int_{a}^{+\infty}f(x)dx中至少有一个发散,则称\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx发散。

与柯西主值的联系[编辑]

从极限的角度考察上述广义积分有如下等式;\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\lim_{u\to +\infty} \int_{a}^{u}f(x)dx+\lim_{v\to -\infty} \int_{v}^{a}f(x)dx,值得注意的是等式右边的两个极限的收敛速度可能不同,若 \lim_{u\to +\infty} \int_{a}^{u}f(x)dx\lim_{v\to -\infty} \int_{v}^{a}f(x)dx都收敛,则\lim_{u\to +\infty} \int_{a}^{u}f(x)dx+\lim_{v\to-\infty} \int_{v}^{a}f(x)dx=\lim_{u\to  +\infty}\int_{-u}^{u}f(x)dx,这时若\lim_{u\to +\infty}\int_{-u}^{u}f(x)dx收敛,则称该极限为广义积分\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx柯西主值;记为p.v\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx。根据定义,可有如下性质: 若\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx 收敛,则其柯西主值p.v\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx。但是若柯西主值p.v\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx 收敛,未必有\lim_{u\to +\infty} \int_{a}^{u}f(x)dx 以及\lim_{u\to -\infty} \int_{u}^{a}f(x)dx都收敛,即p.v\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx 收敛,未必有\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx收敛。

无穷限广义积分的性质[编辑]

(i)对于\forall b>a 无穷限广义积分\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\int_{b}^{+\infty}f(x)dx 有相同的敛散性,且收敛时,有\int_{a}^{+\infty}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{+\infty}f(x)dx 由此可知,\int_{a}^{+\infty}f(x)dx收敛的充分必要条件是对\forallb>a,\int_{b}^{+\infty}f(x)dx 收敛,并且 \lim_{b\to+\infty}\int_{b}^{+\infty}f(x)dx=0 。 (ii)对于任意常数k\ne0, \int_{a}^{+\infty}f(x)dx\int_{a}^{+\infty}kf(x)dx 有相同的敛散性,并且收敛时,有\int_{a}^{+\infty}kf(x)dxk\int_{a}^{+\infty}f(x)dx

瑕积分[编辑]

瑕积分被积函数带有瑕点广义积分,参见如下定义。

定义1[编辑]

函数f(x)在(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点.取t>a,如果极限

\lim_{t \to a^+}\int_{t}^{b}f(x)dx

存在,则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的反常积分。

瑕积分仍然记作\int_{a}^{b}f(x)dx

定义2[编辑]

设函数f(x)在[a,b)上连续,点b为f(x)的瑕点。取t<b,如果极限

\lim_{t \to b^-}\int_{a}^{t}f(x)dx

存在,则称此极限为函数f(x)在[a,b)上的反常积分。

定义3[编辑]

设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外上连续,点c为f(x)的瑕点。如果两个瑕积分

\int_{a}^{c}f(x)dx\int_{c}^{b}f(x)dx

都收敛,则定义

\int_{a}^{b}f(x)=\int_{a}^{c}f(x)+\int_{c}^{b}f(x)

参考文献[编辑]

1.《数学分析》 第三版 下册 欧阳光中 朱学炎 陈传璋 高等教育出版社 ISBN 978-7-04-020743-9

参见[编辑]