反證法

反證法（又稱歸謬法、背理法）是一種論證方式，他首先假設某命題不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然後推理出明顯矛盾的結果，從而下結論說原假設不成立，原命題得證。

反證法常稱作Reductio ad absurdum，是拉丁語中的「轉化到不可能」，源自希臘語中的「ἡ εις το αδυνατον παγωγη」，阿基米德經常使用它。

理據

給出命題$p$和命題$\bar{p}$（非$p$），根據排中律，兩者之中起碼有一個是真（更強的說法為，除了真和假之外並無其他的情況），所以若果其中一個是假的，另一個就必然是真。給出命題$q$和命題$\bar{q}$（非$q$），根據無矛盾律，兩者同時為真的情況為假。給出命題$p$和$r$，根據否定後件律，如果若$p$成立時出現$r$，則$r$為假時$p$即為假。反證法在要證明$p$時，透過顯示出若$\bar{p}$成立時出現矛盾（$q$和$\bar{q}$），即$\bar{p}$為假，從而證明$p$為真。

例子

• $\sqrt{2}$是無理數的證明（古希臘人）

证明：假设$\sqrt{2}$是有理数，那么就写成p/q的形式，且p,q互质。那么有
p=$\sqrt{2}$×q
p²=2×q²
可得p²是偶数。 而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。 因此可设p=2s,代入上式，得：q²=2s². 所以q也是偶数。这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。則假设不成立！ 因此$\sqrt{2}$为无理数。

其他可用反證法證明的例子：

1. 證明有無限多個質數。

2. 任意6人當中，求證或者有三人兩兩相識，或者有三人互不相識。

3. 現有90張咭，每張咭都寫有一個非負整數，已知這90個數之和少於1980，證明至少有三張數目相同的咭。

4. 集合S={x:0<x<1}沒有最少值。

5. 設n是大於1的整數，若所有少於或等於√n的質數都不能整除n，則n是質數。

6. 已知三角形ABC是銳角三角形，且∠A>∠B>∠C。求證：∠B>45。

7. 已知a、b為正實數，求證：(a+b)/2≧√(ab)。

8. 已知a、b、c、d是實數，且ad-bc=1，求證：a²+b²+c²+d²+ab+cd≠1。

9. (i)甲、乙、丙、丁四人兩兩作乒乓球賽；(ii)甲勝了丁；(iii)甲、乙、丙三人勝的場數相同。證明丁全輸。

10. 組裝甲、乙、丙三種產品，需用A、B、C三種零件。每件甲需用A、B各兩個；每件乙需用B、C各一個；每件丙需用二個A和一個C。用庫存的A、B、C三種零件，如組裝成p件甲產品、q件乙產品和r件丙產品，則剩下2個A和1個B，C恰好用完。試證：無論怎樣改變生產甲、乙、丙的件數，也不能把庫存的A、B、C三零件都恰好用完。

11. 是否存在這樣的自然數m、n滿足關係式：(m²-n²)/2=1983。

12. 若a、b、c為實數，A=a²-2b+π/2，B=b²-2c+π/3，A=c²-2a+π/6。試證：A、B、C中至少有一個的值大於0。

13. 證明8x+15y=50沒有正整數解，其有負整數解。

14. 證明log 2是無理數。

15. 若質數p能表成兩自然數的平方和，則那表示式是唯一的。

16. a,b,x,y都是整數，且滿足ax+by=1，證明a,b互質。

17. A,B,C,a,b,c為實數，且aC±2bB+cA=0，ac-b²>0，求證AC-B²≦0

18. 以2為底的對數，求證log3, 2, log 5三數不能成等差數列，也不能成等比數列。

19. 證明3⁶⁴+4⁶⁴不能被3整除，也不能被5整除。

20. 試證方程組x+y+z=xyz及1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z) 無實數解。

21. 求證cos√x不是周期函數。

22. 求證x=sin(x)+c (c是常數) 的解是唯一的。

23. 設a≠b，試證分別為1-a²，1-b²，2(1-ab) 的三條線段，不能組成一個三角形。

24. 圓內不是直徑的兩弦，不能互相平分。

25. 求證直角三角形斜邊上的中線等於斜邊長的一半。

26. 若多項式系數之和為0，則多項可被x-1整除。

27. 形如4n+3的整數不能化為兩整數的平方和。

28. 如果2^m+1是質數，則m=2ⁿ。

29. 凸四邊形ABCD中，已知AB+BD≦AC+CD，證明AB<AC。

30. 一個有6x6間房的展館(如國際棋盤) ，每兩間相鄰的房間有門可通行，現有人想從左上角的入口進去，經過所有房間，但不重複，而從右下角的出口出來。試證這走法不可能。

31. 如果(n-1)!+1被n整除，則n是質數。

32. 已知a<1，b<1， c<1，求證(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a都不能大於1/4。

33. 證明不論n是甚麼整數，方程x²-16nx+7^t=0沒有整數解。其中t是正奇數。

34. 三角形的兩個角的平分線相等，則是等腰三角形。

35. 設平面上有六個圓，每個圓的圓心都在其餘各圓的外部，證明平面上任一點都不會同時在這六個圓的內部。

36. 在邊長為1的正方形中任作一曲線C，C的兩端點可在正方形的同一邊上或不同邊上，若C的長度少於1，求證：必定有一條正方形的對角線，使C在它的一側。

37. 設x, y, z, n都是自然數，且n≧z，求證xⁿ +yⁿ =zⁿ不能成立。

38. 四邊形ABCD中，若AB²+CD²=AD²+BC²，求證AB垂直於BD。

39. 設x,y皆為正實數，且滿足x³+y³ =2，求證x+y≦2。

40. 對任意大於0的實數x，恆有x+1/x≧2。

41. 對任意大於0的實數x，恆有x/(x+1) < (x+1)/(x+2) 。

42. 如果 0<x<π/2，則sin(x)+cos(x)>1

43. 若a、b、c都為奇數，則方程ax2+bx+c=0沒有有理根。

44. 求證：在0與1之間有無限多個有理數。

45. 求證：在△ABC的內部，不存在點P使PB+PC≧AB+AC。

46. 證明：無理數³√2不能表示成p+q√r的形式，其中p、q、r都是有理數。

47. 形如4k+1的質數有無窮多個。

48. 形如5k+1的質數有無窮多個。

49. 若a是無理數，則cos(ax)+cos(x) 不是週期函數。

50. 證明神不全能。

51. e是有理數。

52. 證明『物體下落時，重的比輕的落下快一點！』是錯的。假設有兩物體A和B，且A比B重，考慮A和B綁在一起下落時的情況證明之。

引文

• 「欧几里得最喜歡用的反證法，是數學家最精良的武器。它比起棋手所用的任何戰術還要好：棋手可能需要犧牲一隻兵或其他棋，但數學家用的卻是整個遊戲。」《一個數學家的辯解》，英國數學家高德菲·哈羅德·哈代。
• 维也纳的科学哲学家卡尔·波普尔的论点：“不能被反证的理论就不能被称作科学的理论”。(這裡的反證不是指反證法，而是指推翻如證偽、修正、提出異議等。

进一步阅读

• 特例假設
• J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6