反證法

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反证法(又称背理法)是一种论证方式,他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),然后推理出明显矛盾的结果,从而下结论说原假设不成立,原命题得证。

反证法与归谬法相似,但归谬法不仅包括推理出矛盾结果,也包括推理出不符事实的结果或显然荒谬不可信的结果。

理據[编辑]

給出命題p和命題\bar{p}(非p),根據排中律,兩者之中起碼有一個是真(更強的說法為,除了真和假之外並無其他的情況),所以若果其中一個是假的,另一個就必然是真。給出命題q和命題\bar{q}(非q),根據無矛盾律,兩者同時為真的情況為假。給出命題pr,根據否定後件律,如果若p成立時出現r,則r為假時p即為假。反證法在要證明p時,透過顯示出若\bar{p}成立時出現矛盾(q\bar{q}),即\bar{p}為假,從而證明p為真。

例子[编辑]

\sqrt{2}无理數的证明(古希腊人)

证明:假设\sqrt{2}有理数,那么就写成p/q的形式,且p,q互质。那么有
p=\sqrt{2}×q
p²=2×q²
可得p²是偶数。而只有偶数的平方才是偶数,所以p也是偶数。因此可设p=2s,代入上式,得:q²=2s². 所以q也是偶数。这样,p,q都是偶数,不互质,这与假设p,q互质矛盾。則假设不成立!因此\sqrt{2}为无理数。

其他可用反證法證明的例子:[编辑]

1. 证明有无限多个质数。

2. 任意6人当中,求证或者有三人两两相识,或者有三人互不相识。

3. 现有90张纸,每张纸都写有一个非负整数,已知这90个数之和少于1980,证明至少有三张数目相同的纸。

4. 集合S={x:0<x<1}没有最少值。

5.n是大于1的整数,若所有少于或等于√n的质数都不能整除n,则n是质数。

6. 已知三角形ABC是锐角三角形,且∠A>∠B>∠C。求证:∠B>45

7. 已知ab为正实数,求证:(a+b)/2≧√(ab)

8. 已知abcd是实数,且ad-bc=1,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1

9. (i)甲、乙、丙、丁四人两两作乒乓球赛;(ii)甲胜了丁;(iii)甲、乙、丙三人胜的场数相同。证明丁全输。

10. 组装甲、乙、丙三种产品,需用ABC三种零件。每件甲需用AB各两个;每件乙需用BC各一个;每件丙需用二个A和一个C。用库存的ABC三种零件,如组装成p件甲产品、q件乙产品和r件丙产品,则剩下2A1BC恰好用完。试证:无论怎样改变生产甲、乙、丙的件数,也不能把库存的ABC三零件都恰好用完。

11. 是否存在这样的自然数mn满足关系式:(m2-n2)/2=1983

12.abc为实数,A=a2-2b+π/2B=b2-2c+π/3A=c2-2a+π/6。试证:ABC中至少有一个的值大于0

13. 证明8x+15y=50没有正整数解,其有负整数解。

14. 证明log 2是无理数。

15. 若质数p能表成两自然数的平方和,则那表示式是唯一的。

16. a,b,x,y都是整数,且满足ax+by=1,证明a,b互质。

17. A,B,C,a,b,c为实数,且aC±2bB+cA=0ac-b2>0,求证AC-B2≦0

18.2为底的对数,求证log3, 2, log 5三数不能成等差数列,也不能成等比数列。

19. 证明364+464不能被3整除,也不能被5整除。

20. 试证方程组x+y+z=xyz1/x+1/y+1/z=1/(x+y+z) 无实数解。

21. 求证cos√x不是周期函数。

22. 求证x=sin(x)+c (c是常数) 的解是唯一的。

23.a≠b,试证分别为1-a21-b22(1-ab) 的三条线段,不能组成一个三角形。

24. 圆内不是直径的两弦,不能互相平分。

25. 求证直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。

26. 若多项式系数之和为0,则多项可被x-1整除。

27. 形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和。

28. 如果2m+1是质数,则m=2n

29. 凸四边形ABCD中,已知AB+BD≦AC+CD,证明AB<AC

30. 一个有6x6间房的展馆(如国际棋盘) ,每两间相邻的房间有门可通行,现有人想从左上角的入口进去,经过所有房间,但不重复,而从右下角的出口出来。试证这走法不可能。

31. 如果(n-1)!+1n整除,则n是质数。

32. 已知a<1b<1c<1,求证(1-a)b, (1-b)c, (1-c)a都不能大于1/4

33. 证明不论n是甚么整数,方程x2-16nx+7t=0没有整数解。其中t是正奇数。

34. 三角形的两个角的平分线相等,则是等腰三角形。

35. 设平面上有六个圆,每个圆的圆心都在其余各圆的外部,证明平面上任一点都不会同时在这六个圆的内部。

36. 在边长为1的正方形中任作一曲线CC的两端点可在正方形的同一边上或不同边上,若C的长度少于1,求证:必定有一条正方形的对角线,使C在它的一侧。

37.x, y, z, n都是自然数,且n≧z,求证xn +yn =zn不能成立。

38. 四边形ABCD中,若AB2+CD2=AD2+BC2,求证AB垂直于BD

39.x,y皆为正实数,且满足x3+y3 =2,求证x+y≦2

40. 对任意大于0的实数x,恒有x+1/x≧2

41. 对任意大于0的实数x,恒有x/(x+1) < (x+1)/(x+2)

42. 如果 0<x<π/2,则sin(x)+cos(x)>1

43.abc都为奇数,则方程ax2+bx+c=0没有有理根。

44. 求证:在01之间有无限多个有理数。

45. 求证:在△ABC的内部,不存在点P使PB+PC≧AB+AC

46. 证明:无理数3√2不能表示成p+q√r的形式,其中pqr都是有理数。

47. 形如4k+1的质数有无穷多个。

48. 形如5k+1的质数有无穷多个。

49.a是无理数,则cos(ax)+cos(x) 不是周期函数。

50. 证明神不全能。

51. 证明e不是有理数。

52. 证明『物体下落时,重的比轻的落下快一点!』是错的。假设有两物体AB,且AB重,考虑AB绑在一起下落时的情况证明之。

引文[编辑]

进一步阅读[编辑]

  • 特例假設
  • J. Franklin and A. Daoud, Proof in Mathematics: An Introduction, Quakers Hill Press, 1996, ch. 6