发散级数

发散级数指（按柯西意义下）不收敛的级数。如级数$1 + 2 + 3 + 4 + \cdots$和$1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$

但在实际的数学研究及物理等其它学科的应用中，經常需对发散级数进行运算，于是数学家们便给发散级数定义各种不同的“和”，如切萨罗和，阿贝尔和，欧拉和等，使对收敛级数求得的这些和仍然不变，而对某些发散级数，这种和仍然存在。

各种求和法

切萨罗和

对于级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$,令$s_n = a_1 + \cdots + a_n$为它的部分和，而$t_n = \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n}$。如果$t_n \rightarrow s$，则称这个级数的切萨罗和为s。

阿贝尔和

如果幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$在$|x|<1$收敛，并且$\lim_{x \rightarrow 1^- }\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n = s$，则称级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n$的阿贝尔和为s。

欧拉和

如果狄利克雷级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n n^{-z}$的收敛区域非空，且它可以解析延拓为复平面上的亚纯函数，它在0处的值就定义为级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$的欧拉和。

例如，按照上述这三种和，可以得到

$1 + 2 + 3 + 4 + \cdots = -\frac{1}{12}$

$1 + 1 + 1 + 1 + \cdots = -\frac{1}{2}$

$1 - 1 + 1 - 1 + \cdots = \frac{1}{2}$

参考文献

Divergent Series by G. H. Hardy, Oxford, Clarendon Press, 1949