取整函数

下取整函数

上取整函数

在数学和计算机科学中，取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。

常用的取整函数有两个，分别是下取整函数和上取整函数。

下取整函数在数学中一般记作$\lfloor x \rfloor$或者$E(x)$，在计算机科学中一般记作 floor(x) ，表示不超过x的整数中最大的一个。

$\lfloor x \rfloor=\max\, \{n\in\mathbb{Z}\mid n\le x\}.$

举例来说，$\lfloor 3.633 \rfloor = 3$，$\lfloor 56 \rfloor = 56$，$\lfloor -2 \rfloor = -2$，$\lfloor -2.263 \rfloor = -3$。对于非负的实数，其下取整函数的值一般叫做它的整数部分或取整部分。而$x -\lfloor x\rfloor$叫做x的小数部分。每个分数都可以表示成其整数部分与一个真分数的和，而实数的整数部分和小数部分是与此概念相应的拓延。

下取整函数的符号也会用方括号表示，如[2.3]=2，称作高斯符号。而(x)则被用来表示一个数的小数部分，如(2.3)=0.3。

上取整函数在数学中一般记作$\lceil x \rceil$，在计算机科学中一般记作ceil(x)，表示不小于x的整数中最小的一个。

$\lceil x \rceil=\min\{n\in\mathbb{Z}\mid x\le n\}.$

举例来说，$\lceil 3.633 \rceil = 4$，$\lceil 56 \rceil = 56$，$\lceil -2 \rceil = -2$，$\lceil -2.263 \rceil = -2$。

计算机中的上取整函数和下取整函数的命名来自于英文的 ceiling(天花板) 和 floor(地板) ，相关的记法由肯尼斯·艾佛森于1962年引入。

性质

对于下取整函数，有如下性质。

• 按定义：

$\lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1$

等号成立当且仅当x为整数。

• 设 x 和 n 为正实数，则：

$\left\lfloor \frac{n}{x} \right\rfloor \geq \frac{n}{x} - \frac{n-1}{x}$

• 下取整函数为等幂运算: $\lfloor\lfloor x\rfloor\rfloor=\lfloor x\rfloor$.
• 对任意的整数 k 和任意实数 x，

$\lfloor {k+x} \rfloor = k + \lfloor x\rfloor.$

• 一般的數值修約規則可以表述为将x映射到 floor(x + 0.5)；
• 下取整函数不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，下取整函数导数为零。
• 设 x 为一个实数， n 为整数，则由定义，n ≤ x 当且仅当 n ≤ floor(x)。

• 用下取整函数可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值。
• 对于非整数的 x，下取整函数有如下的富里叶展开：

$\lfloor x\rfloor = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin(2 \pi k x)}{k}.$

• 对于互素的正整数 m 和 n ，有：

$\sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2$

• 根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过下取整函数制造出一个整数集的分划。
• 最后，对于每个正整数k，其数位长度为：

$\lfloor \log_{10}(k) \rfloor + 1$

对于上取整函数：

• 显然有：

$\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor$

• 以及：

$x \leq \lceil x \rceil < x + 1$

• 对于整数k有：

$\lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k$.

其它等式

• 设 x 为一个实数， n 为整数，则

$\sum_{k = 0}^{n - 1} E(x+\frac{k}{n}) = E(nx)$

$E(\frac{1}{n}E(nx))=E(x)$

• 对于两个相反数的下取整函数，有：

如果x为整数，则$E(x) + E(-x) = 0$

否则$E(x) + E(-x) = -1$