古德曼函數

古德曼函數，圖中的藍色橫線為漸近線 $\scriptstyle{y=\pm\frac{\pi}{2}}\,\!$ 。

古德曼函數的反函數

古德曼函數（Gudermannian function）是一個函數。它無須涉及複數便將三角函數和雙曲函數連繫起來。

古德曼函數的定義如下

$\begin{align}{\rm{gd}}(x)&=\int_0^x\frac{dt}{\cosh t} \\ &=\arcsin\left(\tanh x \right) =\mbox{arctan}\left(\sinh x \right) \\ &=2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right) =2\arctan(e^x)-\frac{\pi}{2}. \end{align}\,\!$

(參閱反三角函數.)

有以下恆等式：

$\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black}\sin \mbox{gd}x}}}&=\tanh x;\quad\cos \mbox{gd} x=\mbox{sech} x;\\ \tan \mbox{gd} x&=\sinh x ;\quad\;\sec \mbox{gd} x =\cosh x;\\ \cot \mbox{gd} x&=\mbox{csch} x;\quad\,\csc \mbox{gd} x=\coth x;\\ {}_{\color{white}.}\tan \frac{\mbox{gd} x}{2}&=\tanh \frac{x}{2}.\end{align}\,\!$

古德曼函數在區間 −π/2 < x < π/2 上的反函數的定義為：

$\begin{align} \mbox{arcgd} x&={\rm {gd}}^{-1}x=\int_0^x\frac{dt}{\cos t},\\ &={}\mbox{arccosh}\sec x=\mbox{arctanh}\sin x,\\ &={}\ln [\sec x(1+\sin x)],\\ &={}\ln(\tan x+\sec x)=\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right),\\ &={}\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin x}{1-\sin x} . \end{align}\,\!$