古德曼函數

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古德曼函數(Gudermannian function)是一個函數。它無須涉及複數便將三角函數雙曲函數連繫起來。

性質[编辑]

古德曼函數,圖中的藍色橫線為漸近線\scriptstyle{y=\pm\frac{\pi}{2}}\,\!

古德曼函數的定義如下

\begin{align}{\rm{gd}}(x)&=\int_0^x\frac{dt}{\cosh t} \qquad -\infty<x<\infty\\
&=\arcsin\left(\tanh x \right)=\mbox{arctan}\left(\sinh x \right)=\mathrm{arccsc}\left(\coth x \right) \\
&=\mbox{sgn}(x)\cdot\mathrm{arccos}\left(\mathrm{sech}\,x \right)=\mbox{sgn}(x)\cdot\mathrm{arcsec}\left(\cosh x \right) \\
&=2\arctan(e^x)-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}-2\arccot(e^x)\\
&=2\arctan\left(\tanh\frac{x}{2}\right)\\
&=\mathrm{arccot}\left(\mathrm{csch}\,x \right)\\
\end{align}\,\!

\begin{align}{\rm{gd}}(x)=\mathrm{arccot}\left(\mathrm{csch}\,x \right)\end{align}\,\!僅在arccot的值域設為[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]時成立,參見反餘切。)

有以下恆等式:

\begin{align}\sin\left(\mbox{gd}x\right)&=\tanh x ;&\quad\cos\left(\mbox{gd} x\right)&=\mbox{sech} x\\
\tan\left(\mbox{gd} x\right)&=\sinh x ;&\quad\sec\left(\mbox{gd} x\right)&=\cosh x\\
\cot\left(\mbox{gd} x\right)&=\mbox{csch} x ;&\quad\csc\left(\mbox{gd} x\right)&=\coth x\\
\tan\left(\frac{\mbox{gd} x}{2}\right)&=\tanh\frac{x}{2} ;&\quad\cot\left(\frac{\mbox{gd} x}{2}\right)&=\coth\frac{x}{2}\\
\end{align}\,\!

反函數[编辑]

古德曼函數的反函數,圖中的藍色直線為漸近線\scriptstyle{x=\pm\frac{\pi}{2}}\,\!

古德曼函數之反函數的定義為:

\begin{align}
\mbox{arcgd} x&={\rm {gd}}^{-1}x=\int_0^x\frac{dt}{\cos t}\qquad -\pi/2<x<\pi/2\\
&=\mathrm{arctanh}\,(\sin x) = \mathrm{arcsinh}\,(\tan x)\\
&=\mathrm{arccoth}\,(\csc x) = \mathrm{arccsch}\,(\cot x)\\
&=\mbox{sgn}(x)\cdot\mathrm{arccosh}\,(\sec x) = \mbox{sgn}(x)\cdot\mathrm{arcsech}\,(\cos x)\\
&=2\mathrm{arctanh}\left(\tan\frac{x}{2}\right)\\
&={}\ln\left|\sec x(1+\sin x)\right|\\
&={}\ln\left|\tan x+\sec x\right|=\ln\left|\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)\right|\\
&={}\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right| 
\end{align}\,\!


有以下恆等式:

\begin{align}\sinh\left(\mbox{gd}^{-1}x\right)&=\tan x;&\quad\cosh\left(\mbox{gd}^{-1} x\right)&=\sec x\\
\tanh\left(\mbox{gd}^{-1} x\right)&=\sin x ;&\quad\;\mbox{sech}\left(\mbox{gd}^{-1} x\right)&=\cos x\\
\coth\left(\mbox{gd}^{-1} x\right)&=\csc x ;&\quad\,\mbox{csch}\left(\mbox{gd}^{-1} x\right)&=\cot x\\
\tanh\left(\frac{\mbox{gd}^{-1} x}{2}\right)&=\tan\frac{x}{2};&\quad\,\coth\left(\frac{\mbox{gd}^{-1} x}{2}\right)&=\cot\frac{x}{2}\\
\end{align}\,\!

餘函數[编辑]

古德曼函數的餘函數

古德曼函數之餘函數的定義為:

\begin{align}
\mbox{cogd} x&=
\begin{cases} 
  \int_\infty^x\frac{dt}{\sinh t}\qquad 0<x<\infty\!\, \\
  \int_x^{-\infty}\frac{dt}{\sinh t}\qquad -\infty<x<0\!\, 
\end{cases}\\
&=-\mbox{sgn}(x)\cdot\ln\left| \tanh {x \over2}\right|\\
&=\mbox{sgn}(x)\cdot\ln\left|\coth x+\mbox{csch} x\right|\\
&=2\mbox{artanh} (e^{-\left|x\right|})\cdot\mbox{sgn}(x)=2\mbox{arcoth} (e^\left|x\right|)\cdot\mbox{sgn}(x)\\
&=\mbox{cogd}^{-1} x\\
\end{align}\,\!


有以下恆等式:

\begin{align}\sinh \left(\mbox{cogd} x\right)&=\mbox{csch} x ;&\quad\;\cosh\left(\mbox{cogd} x\right) &=\coth \left|x\right|\\
\tanh \left(\left|\mbox{cogd} x\right|\right)&=\mbox{sech} x ;&\quad\;\mbox{sech}\left(\mbox{cogd} x\right) &=\tanh \left|x\right|\\
\coth \left(\left|\mbox{cogd} x\right|\right)&=\cosh x ;&\quad\,\mbox{csch}\left(\mbox{cogd} x\right)&=\sinh x\\
\end{align}\,\!

微分[编辑]

它們的導數分別為:

\begin{align}\frac{d}{dx}\mbox{gd} x=\mbox{sech} x;\quad\frac{d}{dx}\mbox{arcgd} x=\sec x;\quad\frac{d}{dx}\mbox{cogd} x=-\mbox{csch}\left| x\right| \\
\end{align}\,\!

應用[编辑]

\frac{\pi}{2} - \mbox{gd} (x)
定義了平行角函數。
  • 在使用麥卡托投影法的地圖,若以y\,表示一個地點在地圖跟赤道的距離,則其經度\phi\,y\,的關係為:
\phi = \mbox{gd} (y)\,
  • 古德曼函數在倒單擺的非週期解中出現。


參考[编辑]

發現者的生平[编辑]

克里斯托夫·古德曼(Christof Gudermann,1798年–1852年)是德國數學家,是高斯的學生,卡爾·魏爾施特拉斯的老師。[1][2]