古德曼函數

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古德曼函數,圖中的藍色橫線為漸近線\scriptstyle{y=\pm\frac{\pi}{2}}\,\!
古德曼函數的反函數

古德曼函數(Gudermannian function)是一個函數。它無須涉及複數便將三角函數雙曲函數連繫起來。

古德曼函數的定義如下

\begin{align}{\rm{gd}}(x)&=\int_0^x\frac{dt}{\cosh t} \\
&=\arcsin\left(\tanh x \right)

=\mbox{arctan}\left(\sinh x \right) \\
&=2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right)

=2\arctan(e^x)-\frac{\pi}{2}.
\end{align}\,\!

(參閱反三角函數.)

有以下恆等式:

\begin{align}{\color{white}\dot{{\color{black}\sin \mbox{gd}x}}}&=\tanh x;\quad\cos \mbox{gd} x=\mbox{sech} x;\\
\tan \mbox{gd} x&=\sinh x ;\quad\;\sec \mbox{gd} x =\cosh x;\\
\cot \mbox{gd} x&=\mbox{csch} x;\quad\,\csc \mbox{gd} x=\coth x;\\
{}_{\color{white}.}\tan \frac{\mbox{gd} x}{2}&=\tanh \frac{x}{2}.\end{align}\,\!

古德曼函數在區間 −π/2 < x < π/2 上的反函數的定義為:

\begin{align}
\mbox{arcgd} x&={\rm {gd}}^{-1}x=\int_0^x\frac{dt}{\cos t},\\
&={}\mbox{arccosh}\sec x=\mbox{arctanh}\sin x,\\
&={}\ln [\sec x(1+\sin x)],\\
&={}\ln(\tan x+\sec x)=\ln\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right),\\
&={}\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin x}{1-\sin x} .
\end{align}\,\!

(參閱反雙曲函數.)

它們的導數分別為:

\frac{d}{dx}\mbox{gd} x=\mbox{sech} x;\quad\frac{d}{dx}\mbox{arcgd} x=\sec x.\,\!

雙曲幾何中, 表達式

\frac{\pi}{2} - \mbox{gd} (x)

定義了平行角函數.

在使用麥卡托投影法的地圖,若以y\,表示一個地點在地圖跟赤道的距離,則其經度\phi\,y\,的關係為:

\phi = \mbox{gd} (y)\,

參考[编辑]

發現者的生平[编辑]

克里斯托夫·古德曼(Christof Gudermann,1798年–1852年)是德國數學家,是高斯的學生,卡爾·魏爾施特拉斯的老師。[1][2]