古爾丁定理

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

古爾丁定理,又稱帕普斯幾何中心定理

它最初由古希臘的帕普斯發現,後來在16世紀保羅·高爾丁又重新發現了這個定理。

表面積[编辑]

  • 有一條平面曲線,跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積A,等於曲線的長度s乘以曲線的幾何中心經過的距離d_1A=s d_1
  1. 例:設環面圓管半徑為r,圓管中心到環面中心距離為R,把環面看成上面提到的曲線,其幾何中心是圓管中心。所以環面表面積為(2\pi r) (2\pi R) = 4 \pi^2 r R

若有平面連續曲線y=f(x),求x[a,b]時,曲線以x軸旋轉所得的曲面表面積。可考慮一小段曲線,其幾何中心便是y曲線長度\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2},因此這個曲面的表面積便是:

2 \pi \int_a^b y \sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2} \; \mathrm{d}x

體積[编辑]

  • 由平面形狀繞和它的同一個平面上的軸旋轉而產生的旋轉體的體積V,等於平面形狀面積S乘以平面形狀的幾何中心經過的距離d_1的積:V=S d_1

再考慮一般平面曲線下的面積的情況,可得旋轉體體積V = \pi \int_a^b y^2  \; \mathrm{d}x