古爾丁定理

微积分学

$\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

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古爾丁定理，又稱帕普斯幾何中心定理。

它最初由古希臘的帕普斯發現，後來在16世紀保羅·高爾丁又重新發現了這個定理。

表面積

• 有一條平面曲線，跟它的同一個平面上有一條軸。由該平面曲線以該條軸與旋轉而產生的旋轉曲面的表面積$A$，等於曲線的長度$s$乘以曲線的幾何中心經過的距離$d_1$：$A=s d_1$。

1. 例：設環面圓管半徑為$r$，圓管中心到環面中心距離為$R$，把環面看成上面提到的曲線，其幾何中心是圓管中心。所以環面表面積為$(2\pi r) (2\pi R) = 4 \pi^2 r R$

若有平面連續曲線$y=f(x)$，求$x$在$[a,b]$時，曲線以$x$軸旋轉所得的曲面表面積。可考慮一小段曲線，其幾何中心便是$y$，曲線長度為$\sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2}$，因此這個曲面的表面積便是：

$2 \pi \int_a^b y \sqrt{1+(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})^2} \; \mathrm{d}x$。

體積

• 由平面形狀繞和它的同一個平面上的軸旋轉而產生的旋轉體的體積$V$，等於平面形狀面積$S$乘以平面形狀的幾何中心經過的距離$d_1$的積：$V=S d_1$。

再考慮一般平面曲線下的面積的情況，可得旋轉體體積$V = \pi \int_a^b y^2 \; \mathrm{d}x$。