可分多项式

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数学中,可分多项式在不同的作者的书下有两个略微不同的定义。

最常见的一个定义是:当在一个给定K上的多项式P(X)在K的代数闭包中有不同的根时,称多项式为可分的。换言之它的互异根的数量需要等于多项式的次数[1]。在多项式因式分解的观点下,这样的多项式是无平方多项式

第二个定义,当P(X)在K[X]中的每个不可约因子在K的代数闭包中的根互不相同,此时称P(X)是可分的。这意味着每个不可约因子是无平方项的[2]。在这个定义中,可分性依赖于K,比如任何一个不可分的不可约多项式P在它的分裂域上都变成可分的了。并且在这个定义下,每个完美域上的多项式是可分的,这包含了0特征域和所有有限域

两个定义对于K上不可约多项式是等价的,这个被用来定义域K的可分扩张

在条目的余下部分我们只用第一个定义。

一个多项式可分当且仅当它与它的形式导数P'(X)互素

域的可分扩张[编辑]

可分多项式被用于定义可分扩张:一个域扩张K \subset L是一个可分扩张当且仅当对任意的代数元\alpha\in L\alpha在K上的极小多项式是可分多项式。

不可分扩张只可能在特征为p的域上出现。

由定义可以立马得到如果P是不可约的并且不可分,那么P'(X)=0.因此必须有:

P(X) = Q(Xp)

对某个K上多项式Q成立,当中p是K的特征。

对此,我们能够构造一个例子:

P(X) = XpT

当中K是在有限域Fp上的不定元T的有理函数组成的域。 这里可以直接证明P(X)是不可约的,并且不可分。事实上这是为什么不可分性需要被强调的一个例子;用几何的语言来说,P代表了有限域上的一个射影直线,将坐标取p次幂。这样的映射对有限域上的代数几何是基础的。换言之,存在一些不能用伽罗华理论来描述的覆盖。(见根态射(radical morphism)条目寻找更高层次的阐述)

若L是域扩张

K(T1/p),

换言之是P的分裂域,则L/K是一个纯不可分域扩张的例子。它的次数是p,但是除了恒等映射没有保K不变的态射,因为T1/p是P的唯一一个根。这直接证明了伽罗华理论在这里不适用。一个没有此类扩张的域称为完美域。

可以证明L和它自己在K上的张量积有非零的幂零元。这又一次证明了不可分性:这是说域上的张量积操作不需要形成一个域的积环(因此没有交换的半单环)。

若P(X)是可分的,且它的根形成了一个(域K的子群),则P(X)称为一个加性多项式

伽罗华理论中的应用[编辑]

可分多项式常在伽罗华理论中出现。

比如,令P是一个整系数不可约多项式而p是一个不整除P首项系数的素数。Q是有限域Fp上的上由P模p约化而来的多项式。则若Q可分则Q不可约因子的次数是P的伽罗华群的某个置换的长度。

另一个例子:P同上,一个群G的预解式R是一个系数为p为系数的多项式的多项式,R提供了关于P的伽罗华群的信息。更准确的说,若R是可分的并且有有理根则P的伽罗华群包含于G。例如若D是P的判别式,则X2-D是交错群的预解式。当P是可约的这个预解式总是可分的,但是大多的预解式是不可分的。

參考資料[编辑]

  1. ^ S. Lang, Algebra, p. 178
  2. ^ N. Jacobson, Basic Algebra I, p. 233