可分扩张

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数学中,如果一个代数扩张E/F满足:任何一个E中元素在系数F极小多项式(Minimal Polynomial)都是可分多项式(Separable Polynomial)。那这个扩张被称作可分扩张。由于特征为0的域(这里包括熟悉的有理数域\mathbb{Q})以及有限域都是完美域,任何这些域上的扩张都是可分扩张,因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一,因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。

等价定义[编辑]

一个域扩张E/F是可分扩张当且仅当

如果E/F有限扩张,那E/F是可分扩张当且仅当[E:F]=[E:F]_s,其中[E:F]_s是扩张E/F可分度数,定义为从EEa,并且固定F的不同同构的个数。

性质[编辑]

  • [E:F]=[E:F]_s[E:F]_i
  • 如果E/FF/k都是代数扩张,那E/k是可分扩张当且仅当E/FF/k都是可分扩张
  • 假设E/k是可分扩张,F是任意扩张,并且EF存在,那么EF/F也是可分扩张
  • 由以上两个性质可以推出,对于任何域F,在它的代数闭包Fa里,所有在F上可分的元素可以构成一个域。称这个域为F可分闭包Fsep
  • 如果E/k有限可分扩张,那E/k之间只存在有限多个中间域,由本原元定理得出,E存在本原元,即存在\alpha\in E使得E=F(\alpha)

参见[编辑]

参考文献[编辑]