可分扩张

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可分扩张抽象代数域扩张理论中的概念。如果一个代数扩张L/K满足:任何一个L中元素在基K上的极小多项式都是可分多项式,那么这个扩张就称作可分扩张。由于特征为0的域(包括常见的有理数\mathbb{Q})以及有限域都是完美域,任何这些域上的代数扩张都是可分扩张,因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一,因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。

简介[编辑]

域扩张理论和多项式有紧密的关系。给定一个基域K并固定其某个代数闭包Kalg,所有K-多项式f(即以K中元素为系数的多项式)都在Kalg中有根,即存在rf,使得f(rf) = 0。考虑集合Z_f = \{ r\in K^{\mathrm{alg}}; \; f(r) = 0\}Zf包含了f所有的相异的根,它的元素个数不会超过多项式f的次数,但也不总等于多项式f的次数。例如有理数系数的三次多项式X^3 - X有三个不同的根:1、0和-1,相异根的个数等于多项式次数。但同样是三次多项式X(X - 1)^2就只有两个根:0和1。

尽管随着代数闭包Kalg变化,多项式f的根的形式可以不一样,但多项式相异根的个数是它的内禀属性。这个属性对应着域扩张理论中的可分扩张与不可分扩张。

多项式的重根与可分多项式[编辑]

给定域扩张L/K以及K-多项式f。如果某个L中元素αf的根,那么f可以分解为两个L-多项式的乘积:

f = (X - \alpha) g.

其中g是一个次数比f少1的多项式。如果α也是g的根,那么α就被称作是多项式f的重根。有重根的多项式,相异根的个数必然严格小于它的次数。这样的多项式称为不可分多项式。反之称为可分多项式

f分裂域中,可以更清楚的看到重根。给定f的分裂域F/K後,由于fF中可以完全分解为一次因式的乘积:

f = \kappa (X - \alpha_1)(X - \alpha_2)\cdots (X - \alpha_k), \; \kappa \in K, \; \alpha_1, \alpha_2, \cdots ,\alpha_k \in F.

因此可以看出是否有两个根相同。

尽管f的根常常在扩域中,但“f是否有重根”的判断可以直接在K中进行。考虑f形式导数多项式D( f )。如果fD( f )互素,则f没有重根。否则,fD( f )的公因子就是由f的重根组成的多项式。互素的具体判别方式为:

如果存在K-多项式pq,使得pf + qD( f ) = 1,则fD( f )互素。

定义[编辑]

一个代数扩张L/K是可分扩张,当且仅当L中任一给定元素ααK上的极小多项式没有重根。

可分元素与可分次数[编辑]

给定一个域扩张L/K,如果L中某个元素αF上的极小多项式没有重根,就称它为K上的可分元素。显然所有K中元素都是K上的可分元素。所有可分元素构成一个域,记作Ls是域扩张L/K的中间域。子扩张Ls/K的次数[Ls : K]称为L/K可分次数,记作[L : K]s。如果Ls = L,则L/K是可分扩张。

L/K有限扩张时,可以定义不可分次数[L : K]i := [L : K]/[L : K]sL/K是可分扩张等价于说不可分次数等于1。

性质[编辑]

  • 如果L/FF/K都是代数扩张,那L/K是可分扩张当且仅当L/FF/K都是可分扩张。
  • 假设L/K是可分扩张,M/K是任意扩张,并且LM存在,那么LM/K也是可分扩张。
  • 由以上两个性质可以推出,对于任何域K,在它的代数闭包Kalg里,所有在K上可分的元素可以构成一个域。称这个域为K可分闭包,记作Ksep
  • 如果L/K有限可分扩张,那L/K之间只存在有限多个中间域,由本原元定理得出,L/K存在本原元,即存在\alpha\in L使得L=K(\alpha)

参见[编辑]

参考文献[编辑]