可分扩张

在数学中，如果一个代数扩张E/F满足：任何一个E中元素在系数域F的极小多项式(Minimal Polynomial)都是可分多项式(Separable Polynomial)。那这个扩张被称作可分扩张。由于特征为0的域（这里包括熟悉的有理数域$\mathbb{Q}$）以及有限域都是完美域，任何这些域上的扩张都是可分扩张，因此可分扩张在域论研究中十分重要。可分扩张还是伽罗瓦扩张的条件之一，因此它在伽罗瓦理论中也扮演了重要的角色。

等价定义

一个域扩张E/F是可分扩张当且仅当

• $[E:F]_i=1$，即 E/F 的纯不可分度数为1。
• 对于E上的任何一个元素$\alpha$，它在F上是可分的。换句话说，它在F上的极小多项式没有重根。

如果E/F是有限扩张，那E/F是可分扩张当且仅当$[E:F]=[E:F]_s$，其中$[E:F]_s$是扩张E/F的可分度数，定义为从E到E^a，并且固定F的不同同构的个数。

性质

• $[E:F]=[E:F]_s[E:F]_i$
• 如果E/F、F/k都是代数扩张，那E/k是可分扩张当且仅当E/F、F/k都是可分扩张
• 假设E/k是可分扩张，F是任意扩张，并且EF存在，那么EF/F也是可分扩张
• 由以上两个性质可以推出，对于任何域F，在它的代数闭包F^a里，所有在F上可分的元素可以构成一个域。称这个域为F的可分闭包F^sep
• 如果E/k是有限可分扩张，那E/k之间只存在有限多个中间域，由本原元定理得出，E存在本原元，即存在$\alpha\in E$使得$E=F(\alpha)$

参见

• 完美域
• 纯不可分扩张
• 本原元定理

参考文献

• Serge Lang. Algebra. Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.