可分离变量的微分方程

主条目：分離變數法

${\displaystyle }$可分离变量的微分方程也叫做变量分离方程，指的是形如 ${\frac {dy}{dx}}=f(x)\varphi (y)$的方程.

等价定义

可化为$g(y)dy=f(x)dx$的方程，称为可分离变量的微分方程.

一般解法(求通解)

分离变量法：

对${\frac {dy}{dx}}=f(x)\varphi (y)$，若$\varphi (y)\neq 0$则 ${\frac {dy}{\varphi (y)}}=f(x)dx$，两边取不定积分，得 $\int {\frac {dy}{\varphi (y)}}=\int f(x)dx\,+c$，这里$\int {\frac {dy}{\varphi (y)}}$和$\int f(x)dx\,$理解为某个确定的原函数，$c$为任意常数.

对$g(y)dy=f(x)dx$也是一样的解法.

初值问题（求特解）

1.不定积分法

以$g(y)dy=f(x)dx$为例，若给初始条件$y\mid _{x=x_{0}}=y_{0}$,则对$g(y)dy=f(x)dx$两边取不定积分，得

$\int g(y)dy=\int f(x)dx+c$,将初始条件代入,求得

$c=c_{0}$,再代回原方程即得所要求的特解$F(x,y)$.

2.变上限积分法

仍以$g(y)dy=f(x)dx$为例，若给初始条件$y\mid _{x=x_{0}}=y_{0}$,对$g(y)dy=f(x)dx$两边取不定积分，得

$G(y)=F(x)+c$,其中$G(y),F(x)$分别为$g(y),f(x)$的一个原函数，代入初始条件，有

$G(y_{0})=F(x_{0})+c\Rightarrow c=G(y_{0})-F(x_{0})$,代回原方程得特解为$G(y)=F(x)+G(y_{0})-F(x_{0})$,即

$G(y)-G(y_{0})=F(x)-F(x_{0})$,根据牛顿—莱布尼茨公式，可知

$\int _{y_{0}}^{y}g(u)du=\int _{x_{0}}^{x}f(v)dv$,在不混淆的时候，可写为

$\int _{y_{0}}^{y}g(y)dy=\int _{x_{0}}^{x}f(x)dx$.

所以可以用两边取变上限积分的方法求这类初值问题.

若又给条件$y\mid _{x=x_{1}}=y_{1}$,将此条件代入$G(y)-G(y_{0})=F(x)-F(x_{0})$,得

$G(y_{1})-G(y_{0})=F(x_{1})-F(x_{0})$,即

$\int _{y_{0}}^{y_{1}}g(y)dy=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)dx$.

参考资料

1.《常微分方程（第三版）》王高雄、周之铭等编 高等教育出版社

2.《高等数学（第六版）》同济大学

3.《微积分（第二版）》同济大学应用数学系

4.《微积分学习指导书》同济大学应用数学系