可分空间

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数学中,一个拓扑空间被称为可分空间当它包含一个可数稠密子集,也就是说,存在一个序列\{ x_n \}_{n=1}^{\infty} ,使得此空间中的每个非空的开子集都有这个序列中的至少一个元素。

可数性公理一样,可分性是一种对空间“大小”的“限制”,虽然这个限制并不一定就是对空间中元素多少的限制(然而在豪斯多夫公理成立的时候这两者是一样的)。特别地,可分空间中的每个连续函数,只要其图像是某个豪斯多夫空间的子集的话,就会被其在某个可数的稠密子集上的取值所确定。

一般来说,对于经典分析学和几何学中的空间来说,可分性是一个很有用的技术性假设,也被认为是比较弱的假设。

例子[编辑]

首先,所有的由有限集或者可数集构成的空间都是可分空间。由不可数集所构成的拓扑空间中,一个可分空间的重要例子是由所有实数组成的实数集空间,因为所有的有理数在其中构成了一个可数的稠密子集。类似地,所有由向量(r_1,\ldots,r_n) 所构成的空间 \mathbb{R}^n也是可分空间,也即是说,所有的有限维欧几里德空间都是可分的。

不可分空间的一个简单例子是基数不可数的离散空间

可分性与第二可数性[编辑]

每个第二可数空间都是可分的: 如果 \{U_n\} 是一个可数基底,那么只要选择任意一个 x_n \in U_n 就可以得到一个可数并且稠密的子集。反过来说,一个度量空间可分当且仅当它是可分空间或林德洛夫空间

参考来源[编辑]