可加範疇

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範疇論中,一個可加範疇是一個存在有限雙積預加法範疇。舊文獻所謂的「可加範疇」有時指預可加範疇,在當代理論中則傾向於區別兩者。

一如預可加範疇,對一交換環 k 也能定義 k-可加範疇,可加範疇是 k=\Z 的情形。

例子[编辑]

最直接的例子是交換群範疇 Ab,此時的有限雙積即群的有限直積。其它常見例子包括:

基本性質[编辑]

加法範疇是預可加範疇的特例,因此具有預可加範疇的性質,在此僅考慮可加範疇對雙積的特性:

首先注意到空雙積存在,稱為零對象,記作 0;它同時是範疇中的始對象終對象

給定加法範疇中的對象 A, B,考慮與自身的雙積 A^nB^m;透過雙積的射影與內射態射,能夠以矩陣表示從 A^nB^m 的態射;若取 A=Bn=m,則態射的合成對應於方陣乘法。

可加函子[编辑]

一個預加法範疇間的函子 F: \mathcal{C} \to \mathcal{D} 若在同態集上給出群同態,則稱作可加函子。如果 \mathcal{C}, \mathcal{D} 還是可加範疇,而且 F 保存雙積的交換圖,則稱之為(可加範疇間的)可加函子。換言之:

BA_1, \ldots, A_n\mathcal{C} 中的雙積,設 p_j 為相應的投影而 i_j 為相應的內射,則 F(B)F(A_1), \ldots, F(A_n) 的雙積,使得 F(p_j) 為相應的投影而 F(i_j) 為相應的內射。

可加範疇間常見的函子都是可加函子。事實上,可以證明加法範疇間的伴隨函子都是可加函子,而範疇論中的重要函子多以伴隨函子的面貌出現。

特殊例子[编辑]

應用最廣的可加範疇通常都是阿貝爾範疇。

文獻[编辑]

  • Nicolae Popescu, 1973, Abelian Categories with Applications to Rings and Modules, Academic Press, Inc. (已絕版) 該書對此主題有仔細介紹