可去奇点

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复分析中,一个全纯函数可去奇点removable singularity),有时称为装饰性奇点cosmetic singularity)是这样的点,在此处函数表面上没有定义,但是通过细致地分析,函数的定义域可以扩大到该奇点,使得延拓后的函数仍然全纯。

例如函数:

 f(z) = \frac{\sin z}{z}

z ≠ 0 有一个奇点 z = 0。通过定义 f(0)=1,这个奇点可以消去。所得的函数 sinc 连续,事实上是全纯的。

确切地,如果 U复平面 C 的一个开集aU 中一点,f : U - {a} → C 是一个全纯函数,如果存在一个在 U - {a} 与 f 相等的全纯函数 g : UC,则 a 称为 f 的一个可去奇点。如果这样的 g 存在,我们说 fa 是可全纯延拓的。

黎曼定理[编辑]

黎曼关于可去奇点的定理指出了何时一个奇点是可去的:

定理下列情形是等价的:

i) f可全纯延拓到a
ii) f可连续延拓到a
iii) 存在a的一个邻域,在它上面 f 有界
iv) limza(z - a) f(z) = 0.

蕴含关系 i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) 是平凡的。为了证明 iv) ⇒ i),我们首先回忆到一个函数在a的全纯性等价于解析,即有一个幂级数表示。定义


h(z) =
\begin{cases}
(z - a)^2 f(z) &  z \ne a ,\\
0              &  z = a .\\
\end{cases}

h(z) - h(a) = (z - a)(z - a)f(z), \,

这里由假设(z - a)f(z)可以视为一个D上的连续函数。换句话说,hD上全纯从而有在a的泰勒级数:

h(z) = a_2 (z - a)^2 + a_3 (z - a)^3 + \cdots .

所以

g(z) = \frac{h(z)}{(z-a)^2}

fa的全纯延拓,这就证明了先前的断言。

其它类型奇点[编辑]

不像实变量函数,全纯函数有足够的刚性使得其孤立奇点可完全分类。一个全纯函数的奇点要么其实不是真正的奇点,即可去奇点,要么是如下两类居其一:

  1. 受黎曼定理启示,给定一个不可去奇点,我们可能问是否存在一个自然数 m 使得 limza(z - a)m+1f(z) = 0。如果存在,a 称为 f 的一个极点,这样最小的 m 称为 a阶数。所以可去奇点恰好是零阶极点。一个全纯函数在极点附近一致发散到无穷远点
  1. 如果 f 的一个孤立奇点 a 既非可去奇点也非极点,则称本性奇点皮卡定理指出 f 将任意穿孔开邻域 U - {a} 映满整个复平面,至多少一个可能的例外点。

参见[编辑]