可均群

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可均群數學上一個特別的局部緊拓撲群G,具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作,而且G在函數上的群作用,不會改變所取得的平均。

緣起[编辑]

巴拿赫-塔斯基悖論

\mathbb R^n上的勒貝格測度,存在不可測的有界子集豪斯多夫研究能否在\mathbb R^n上定義新的測度,使之可以對所有有界子集都是可測的。他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性,就是移動及反射一個有界子集,不會改變其測度。不過,新測度無需有勒貝格測度的σ可加性(可數無限可加性),就是可數無限個不相交子集的測度總和,等於其並集的測度。他只要求新測度滿足較弱的有限可加性,就是有限個不相交子集的測度總和,等於其並集的測度。

但是,豪斯多夫、巴拿赫塔斯基後來的研究,發現了維度不小於3的\mathbb R^n中,任意兩個有內點的有界子集,可以將其一分成有限塊,再移動拼合成另一個,這就是著名的巴拿赫-塔斯基悖論。因此3維以上\mathbb R^n不可能有豪斯多夫所要的測度。而在2維就不存在這種情況。

馮紐曼研究他們的證明,發現問題關鍵不是在\mathbb R^n的結構,而是在\mathbb R^n的旋轉群上。3維以上的\mathbb R^n,其旋轉群子群是秩2的自由群;而2維時,旋轉群沒有這樣的子群。

於是豪斯多夫原來的測度問題,可以把對象轉到群上面。新的問題是:在一個群G上,是否存在有限可加的概率測度\mu,是G-不變的,即是在G對其中的子集的群作用下不變:對任何E\subset G和任何g \in G\mu(gE) = \mu(E)。這樣的概率測度稱為不變平均。(函數以這測度積分,像是取加權平均。)由此產生了可均群的概念。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的理論,便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函[1][2]

外文名稱[编辑]

可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe,法文名稱groupe moyennable,其中Mittel、moyenne分別為德文及法文中的平均一字,故此Mittelbare,moyennable兩字意思就是可以有平均。英文名稱amenable group,是英國數學家Mahlon M. Day所譯,字面上與德文及法文不同,但這是藉諧音玩的文字遊戲,因為amenable的英式讀音,與"a mean able"相同(用美式讀音就失去諧音效果),故此說出來其實也是「可以有一個平均」。

定義[编辑]

G局部緊群G上存在左哈爾測度\mu。考慮在測度空間(G,\mu)上的複值本質有界函數空間L^\infty(G)

線性泛函\Lambda:L^\infty(G)\to \mathbb C稱為平均,如果\Lambda範數是1,並且是非負的:若實值函數f\in L^\infty(G)適合f\geq 0,則\Lambda(f) \geq 0

如果\Lambda是一個平均,則有\Lambda(1_G)=1,其中1_GG特徵函數。而且對任何實值函數f\in L^\infty(G)

\operatorname*{ess\ inf}_{x\in G} f(x) \leq \Lambda (f) \leq \operatorname*{ess\ sup}_{x\in G} f

其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界

一個平均是左不變的,如果對任何s\in Gf\in L^\infty(G),在左作用s\cdot f(x)=f(s^{-1}x)下,都有\Lambda(s\cdot f)=\Lambda(f)

局部緊群G如果有一個左不變平均,就稱為可均群

可均群有很多等價定義。[3]其中一個是Følner條件:[4]

對任何\epsilon >0,任何緊子集C\subset G,都存在一個緊子集K\subset G0<\mu(K)<\infty,使得對所有x\in C都符合不等式

\mu(xK \triangle K) / \mu(K) <\epsilon

此處\triangle對稱差

如果G可數無限離散群,Følner條件等價於: G中存在有限子集S_n,使得對任何g\in G

\lim_{n\to \infty}\frac{\left|g S_n \triangle S_n\right|}{\left|S_n\right|} = 0

這樣的(S_n)稱為Følner序列。

性質[编辑]

可均群的子群都是可均的。

H是可均群G的閉正規子群,那麼G/H是可均群。

H是局部緊群G的閉正規子群,而且HG/H都是可均群,那麼G也是可均群。

G是局部緊群,I有向集合(H_i)_{i\in I}G的閉可均子群組成的,對任何i\leq j,有H_i \subset H_j。那麼H=\overline{\cup_{i\in I}H_i}G的可均子群。

例子[编辑]

有限群是可均群。更一般地,緊群是可均群,其哈爾測度是一個不變平均。[5]

整數群(\mathbb Z,+)和實數群(\mathbb R,+)是可均群,一個在\mathbb Z\mathbb R中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。

局部緊的阿貝爾群是可均群。因此,局部緊的可解群是可均群:若G是局部緊的可解群,則有導出列

G=G^{(0)} \triangleright G^{(1)} \triangleright \cdots \triangleright G^{(k)}=\{1\}

其中G^{(i+1)}=[G^{(i)},G^{(i)}]。每個G^{(i)}/G^{(i+1)}都是阿貝爾群,所以是可均的,而平凡子群{1}也是可均群。從可均群的性質,得出G是可均群。

一個有限生成群G次指數增長的,如果G中存在一個有限生成集合S,有對稱性S=S^{-1},使得[6]

\liminf_{n\to \infty}\frac{\left|S^{n+1}\right|}{\left|S^{n}\right|}=1

次指數增長的有限生成群是可均群。

G_1G_2有限生成群,而G_2是可均的。若G_1擬等距同構G_2,那麼G_1也是可均群。[7]

秩2的自由群F_2不是可均群。

所以一個群若包含F_2離散子群,則不是可均群。

如把n維空間\mathbb R^n旋轉群SO(n)看成離散群,則n不小於3時SO(n)包含F_2為(離散)子群,因此是非可均群,但SO(2)是阿貝爾群,因此是可均群。這是巴拿赫-塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行,在n等於2時不可行的原因。不過若用SO(n)原來的拓撲,則對所有n,SO(n)都是緊群,所以都是可均群。

一個殆連通的局部緊群G是可均群,當且僅當G不包含F_2為離散子群。[8](設G_eG單位連通區。若G/G_e緊緻,則G稱為殆連通群。)

馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群,但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。他證明了塔斯基魔群是非可均的。G是一個塔斯基魔群,如果有一個固定的素數pG中所有真子群除了平凡子群外,都是p循環群。所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。

腳註[编辑]

  1. ^ Pier,Ch. 1 §1.
  2. ^ Paterson,Ch. 0.
  3. ^ Pier,Ch. 2.
  4. ^ Paterson,4.10.
  5. ^ Pier,Prop. 12.1.
  6. ^ Paterson,6.41.
  7. ^ Ghys, de la Harp (éd.),Ch. 1 Exercice 24.
  8. ^ Paterson,3.8.

參考[编辑]

  • Pier, Jean-Paul. Amenable locally compact groups. Wiley. 1984. 
  • Paterson, Alan. Amenability. American Mathematical Society. 1988. 
  • É. Ghys, P. de la Harpe (éd.) (编). Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov.. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser. 1990.