可展曲面

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可展曲面是在其上每一点处高斯曲率为零的曲面。有一个一般性的定理表明:一片具有常数高斯曲率的曲面能够经弯曲(非拉伸、收缩、皱褶或撕裂)而变为任何一片具有相同常数高斯曲率的曲面。因为平面就是在每一点处高斯曲率为常数零的特殊曲面,所以每一点处曲率为零的任何一片曲面,能够经弯曲而展开成一片平面。这就是可展曲面这个术语所要表达的。另外,三维空间中可展曲面都是直纹曲面(反之不成立,三维空间中的双曲面是非可展的直纹曲面的例子),但是在高维空间中可以举出非直纹曲面的可展曲面的例子。

例子[编辑]

三维的Oloid曲面
二维展开的Oloid曲面
  • 平面是最简单的可展曲面。
  • 柱面是可展曲面。
  • 锥面是可展曲面。
  • Oloid是非常有趣的可展曲面(人们利用关于它的理论作出了许多有趣的物品与应用),得到它的一种方式是:将两个圆片(比如等大的圆片)分别沿各自的某条半经剪开一个小口(比如剪到二分之一半径那么深),然后沿着切口相对插接起来,之后再以这个结构为骨架,作包住这个骨架的最小凸曲面,这个曲面就是Oloid(比如把线团以一定的方式缠上去就可做成一个近似的模型)。

形成可展曲面的方式[编辑]

  • 弯曲一个已知的可展曲面,可以形成一个新的可展曲面。
  • 任何一个单参数平面族所包络的曲面是可展曲面。并且命题的逆也成立:任意可展曲面都是某个单参数平面族所包络的曲面。(但是要注意,单参数直线族才描述所有的直纹曲面,而它们并不都是是可展曲面。)
  • (一般情况下)空间曲线的切线族所描述的曲面是以这个空间曲线为边界的可展曲面。并且,不能以这样的方式获得的可展曲面仅仅还剩下锥面和柱面(平面可以视为特殊的柱面)。因此,这构成了可展曲面的一种分类(分为三类)。

参考[编辑]

  • Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), New York: Chelsea, pp. 341–342, ISBN 978-0-8284-1087-8