可數集

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在数学上,可数集,或称可列集可数无穷集合,是与自然数集的某个子集具有相同基數(等势)的集合。在这个意义下不是可数集的集合称为不可数集。这个术语是康托尔创造的。可数集的元素,正如其名,是“可以计数”的:尽管计数可能永远无法终止,集合中每一个特定的元素都将对应一个自然数。

“可数集”这个术语也可以代表能和自然数集本身一一对应的集合。[1]两个定义的差别在于有限集合在前者中算作可数集,而在后者中不算作可数集。

为了避免歧义,前一种意义上的可数有时称为至多可数[2]后一种可数集则称为无限可数集[3]

定义[编辑]

如果存在从S自然數集合N = {0, 1, 2, 3, ...}存在单射函数,则S称为可数集。[4]

如果f还是满射,则同样是双射,则称S是无限可数集

换句话说,一个集合要想是无限可数集,它要和自然数集N一一对应关系。

如上所述,这个术语不普遍:一些作者在这里使用可数来表示被称为“无限可数”,并没有包括有限集。

介绍[编辑]

由定義易知所有偶數所構成的集合為可列的,因為我們可以將所有的 n 都對應到 2n,如此就完成了一一對應。類似地,不難證明所有整數構成的集合 Z、所有有理數構成的集合 Q、甚至所有代數數構成的集合都是可列的。

並非所有的無窮集都可數。喬治·康托首先指出存在有不可列的無窮集合。他利用他發明的對角論證法證明了由所有實數構成的集合 R 是不可列的,即 R 與 N 之間不可能存在一種一一對應。這同時也表示實數當中存在有一些數不是代數數,因為剛才已經說過代數數是可列的;於是這就給出了一種超越數存在的非構造性證明

正规定义和性质[编辑]

由定义,如果存在从S自然數集合N = {0, 1, 2, 3, ...}存在单射函数f : SN,则S称为可数集。

这似乎自然地把集合划分为不同类别:把所有包含一个元素的集合放在一起;包含两个元素的集合在一起......最后,把所有无限集合放在一起,并认为它们具有相同的大小。然而,在大小的自然定义下,这种观点是不确切的。

为了阐述这一点,我们需要一个双射的概念。虽然双射看起来比数更加高深,但原本数学发展中集论定义函数要先于数字。因为它们都是基于更简单的集合。这就引出了双射的概念:

a ↔ 1, b ↔ 2, c ↔ 3

由于{a, b, c}的每个元素都可以和{1, 2, 3}中准确的一个配对,并且反过来也同样,这就定义了一个双射。

我们将这个情境一般化,定义当且仅当它们之间存在双射,两个集合的大小相同。对于有限集,这里给出了“大小相同”的常用定义。那么对于无限集呢?

考虑集合A = {1, 2, 3, ... }(正整数集),和B = {2, 4, 6, ... }(正偶数集)。我们说,在我们的定义下,这些集合有相同的大小,并且因此B是无限可数集。我们需要证明它们之间存在双射。但这是很简单的,运用n ↔ 2n,那么

1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, 4 ↔ 8, ....

正如前面的例子,A的每个元素都已和B准确的一个配对,并且反过来也同样。因而它们大小相同。这给出了一个集合与其一个合适的子集大小相同的例子,这种情形在有限集中是不可能的。

同样,自然数的有序对的集合是无限可数集,可以沿着图中的一种路径:

康拖尔配对函数给每一对自然数分配了一个自然数

配对结果就像这样:

0 ↔ (0,0), 1 ↔ (1,0), 2 ↔ (0,1), 3 ↔ (2,0), 4 ↔ (1,1), 5 ↔ (0,2), 6 ↔ (3,0) ....

显然这个映射可以覆盖所有这些有序对。

参见[编辑]

注解[编辑]

  1. ^ 例子参见(Rudin 1976,Chapter 2)
  2. ^ 参见(Lang 1993,§2 of Chapter I).
  3. ^ 参见(Apostol 1969,Chapter 13.19).
  4. ^ 因为显然NN* = {1, 2, 3, ...}之间显然存在双射,无所谓是否把0算作自然数。在任何情况,这篇文章都遵循ISO 31-11数学逻辑中的标准传统,将0作为自然数。

参考资料[编辑]