可测函数

可测函数是可测空间之间的表现良好的函数。数学分析中所研究的不可测函数一般视为病态的。

如果Σ是集合X上的σ代数，Τ是Y上的σ代数，则函数f : X → Y是Σ/Τ可测的，如果Τ内的所有集合的原像都在Σ内。

根据惯例，如果Y是某个拓扑空间，例如实数空间$\mathbb{R}$，或复数空间$\mathbb{C}$，则我们通常使用Y上的开集所生成的波莱尔σ代数，除非另外说明。在这种情况下，可测空间(X,Σ)又称为波莱尔空间。

如果从上下文很清楚Τ和Σ是什么，则函数f可以称为Σ可测的，或干脆称为可测的。

特殊可测函数

如果(X, Σ)和(Y, Τ)是波莱尔空间，则可测函数f又称为波莱尔函数。所有连续函数都是波莱尔函数，但不是所有波莱尔函数都是连续函数。然而，可测函数几乎是连续函数；参见卢辛定理。

根据定义，随机变量是定义在样本空间上的可测函数。

可测函数的性质

• 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
• 如果函数f是$\Sigma_1/\Sigma_2$可测的，函数g是$\Sigma_2/\Tau$可测的，那么复合函数$g \circ f$是$\Sigma_1/T$可测的。
• 可数个可测函数的最小上界也是可测的。如果$(f_n)$是一个可测函数序列，在[−∞, +∞]中取值，那么$\limsup_n f_n$也是可测的。
• 可测函数的逐点极限是可测的。（连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件，例如一致收敛。）
• 只有可测函数可以进行勒贝格积分。
• 一个勒贝格可测函数是一个实函数f : R → R，使得对于每一个实数a，集合

$\{x \in \R : f(x)>a \}$

都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征，是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数

不是所有的函数都是可测的。例如，如果$A$是实数轴$\R$的一个不可测子集，那么它的指示函数$1_A(x)$是不可测的。

参见

• 可测函数的向量空间：$L^p$空间
• 保测动态系统