可测函数

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可测函数可测空间之间的表现良好函数数学分析中所研究的可测函数一般视为病态的。

如果Σ是集合X上的σ代数ΤY上的σ代数,则函数f : XYΣ/Τ可测的,如果Τ内的所有集合的原像都在Σ内。

根据惯例,如果Y是某个拓扑空间,例如实数空间\mathbb{R},或复数空间\mathbb{C},则我们通常使用Y上的开集所生成的波莱尔σ代数,除非另外说明。在这种情况下,可测空间(X,Σ)又称为波莱尔空间。

如果从上下文很清楚Τ和Σ是什么,则函数f可以称为Σ可测的,或干脆称为可测的。

特殊可测函数[编辑]

如果(X, Σ)和(Y, Τ)是波莱尔空间,则可测函数f又称为波莱尔函数。所有连续函数都是波莱尔函数,但不是所有波莱尔函数都是连续函数。然而,可测函数几乎是连续函数;参见卢辛定理

根据定义,随机变量是定义在样本空间上的可测函数。

可测函数的性质[编辑]

  • 两个可测的实函数的和与积也是可测的。
  • 如果函数f\Sigma_1/\Sigma_2可测的,函数g\Sigma_2/\Tau可测的,那么复合函数g \circ f\Sigma_1/T可测的。[1]
  • 可数个可测函数的最小上界也是可测的。如果(f_n)是一个可测函数序列,在[−∞, +∞]中取值,那么\limsup_n f_n也是可测的。
  • 可测函数的逐点极限是可测的。(连续函数的对应命题需要比逐点收敛更强的条件,例如一致收敛。)
  • 只有可测函数可以进行勒贝格积分
  • 一个勒贝格可测函数是一个实函数f : RR,使得对于每一个实数a,集合
\{x \in \R : f(x)>a \}
都是勒贝格可测的集合。勒贝格可测函数的一个有用的特征,是f是可测的当且仅当mid{-g,f,g}对于所有非负的勒贝格可积函数g都是可积的。

不可测函数[编辑]

不是所有的函数都是可测的。例如,如果A是实数轴\R的一个不可测子集,那么它的指示函数1_A(x)是不可测的。

参见[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Billingsley, Patrick. Probability and Measure. Wiley. 1995. ISBN 0-471-00710-2.