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可觀察量

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斯特恩-革拉赫實驗儀器,可以將入射的銀原子束,分裂成兩道銀原子束,一道銀原子束的S_z為上旋,另一道銀原子束的S_z為下旋。在這裏,S_z是可觀察量。

物理學裏,特別是在量子力學裏,處於某種狀態的物理系統,它所具有的一些性質,可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質,稱為可觀察量observable)。例如,物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統,然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏,任何可以用實驗測量獲得的可觀察量,都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏,物理系統的狀態稱為量子態,其與可觀察量的關係更加微妙,必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述,量子態可以用存在於希爾伯特空間態向量來代表,量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

數學表述[编辑]

本徵態[编辑]

假設,物理量O是某量子系統的可觀察量,其對應的量子算符\hat{O},可能有很多不同的本徵值O_i與對應的本徵態|e_i\rang,這些本徵態|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n,形成了具有正交歸一性基底[1]:96-99

\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}

其中,\delta_{ij}克羅內克函數

任何描述這量子系統的量子態|\psi\rang,都可以用這基底的本徵態表示為

|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang

其中,c_i=\lang e_i |\psi \rang是複係數,是在量子態|e_i\rang裏找到量子態|\psi\rangle機率幅[2]:50

假設,量子態|\psi\rang等於這些本徵態之中的一個本徵態|e_k\rang,則對於這量子系統,測量可觀察量O,得到的結果必定等與本徵值O_k,機率為1,量子態|\psi\rang是「確定態」。

統計詮釋[编辑]

根據統計詮釋,對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值,測量結果只能是其中一個本徵值,而且,每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態,並且,在之後短暫片刻內,量子系統的量子態仍舊是這本徵態。[1]:106-109

假設,某量子系統的量子態為

|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符\hat{O}的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態|e_i\rang,則改變為這本徵態的機率為p_i=|c_i|^2,測量結果是本徵值O_i,得到這本徵值的機率也為p_i。在測量之後短暫片刻內,量子系統的量子態仍舊是本徵態|e_i\rang

將算符\hat{O}作用於量子態|\psi\rang,會形成新量子態|\phi\rang

|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang=\sum_i  \ c_i\hat{O}| e_i\rang=\sum_i  \ c_i O_i| e_i\rang

從左邊乘以量子態\lang\psi|,經過一番運算,可以得到

\lang\psi|\phi\rang =\lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \  c_i O_i\lang\psi| e_i\rang=\sum_i\  |c_i|^2O_i =\sum_i\  p_iO_i

所以,每一個本徵值與其機率的乘積,所有乘積的代數和就是可觀察量O期望值

\lang O\rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i\  p_iO_i

厄米算符[编辑]

每一種經過測量而得到的物理量都是實值,因此,可觀察量O的期望值是實值:

\lang O\rang=\lang O\rang^*

對於任意量子態|\psi\rang,這關係都成立:

\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*

根據伴隨算符的定義,假設\hat{O}^{\dagger}\hat{O}的伴隨算符,則\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang。因此,

\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}

這正是厄米算符的定義。所以,表現可觀察量的算符,都是厄米算符。[1]:96-99

不相容可觀察量[编辑]

假若兩種可觀察量的對易算符不等於0,則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」:[1]:110-112

[\hat{A},\hat{B}]\ne 0

其中,\hat{A}\hat{B}分別是可觀察量AB的算符。

這兩種算符\hat{A}\hat{B}絕對不會有共同的基底。一般而言,\hat{A}的本徵態與\hat{B}的本徵態不同。[註 1]假設量子系統的量子態為|\psi\rang。對於算符\hat{A},所有本徵值為a_i的本徵態|\alpha_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n,形成一個基底。量子態|\psi\rang可以表示為這組基底本徵態的線性組合

|\psi\rang=\sum_i \ c_i|\alpha_i\rang

其中,c_i=\lang \alpha_i |\psi \rang是複係數,是在量子態|\alpha_i\rang裏找到量子態|\psi\rangle機率幅[2]:50

對於算符\hat{B},所有本徵值為b_i的本徵態|\beta_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n,形成了另外一個基底。量子態|\psi\rang可以表示為這組基底本徵態的線性組合

|\psi\rang=\sum_i \ d_i|\beta_i\rang

其中,d_i=\lang \beta_i |\psi \rang是複係數,是在量子態|\beta_i\rang裏找到量子態|\psi\rangle機率幅[2]:50

對於量子系統的可觀察量A做測量,可能得到的結果是各種本徵態|\alpha_i\rang的本徵值a_i,獲得這些不同結果的機會具有機率性,可以表達為機率分佈,結果為a_i的機率是|c_i|^2

假設測量的結果是本徵值a_j,則可以推斷,在測量之後短暫片刻內,量子態是本徵態|\alpha_j\rang。假若立刻再測量可觀察量A,由於量子態仍舊是本徵態|\alpha_j\rang,所得到的測量值是本徵值a_i機率為1。假若立刻再對本徵態|\alpha_j\rang測量可觀察量B,則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值b_k,則可以推斷,在測量之後短暫片刻內,量子態是本徵態|\beta_k\rang

根據不確定性原理

\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right|

設定\chi=\left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right| 。假設,AB是兩個不相容可觀察量,則\chi>0。而A的不確定性與B的不確定性的乘積\Delta A\ \Delta B ,必定大於或等於\chi

實例[编辑]

為了具體計算位置與動量的期望值,可以將量子態表現於位置空間,以位置空間的波函數來表示,使用對應的代數算符。

位置與動量[编辑]

位置x,動量p都是可觀察量,它們的算符都是厄米算符:

\lang x\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* x \psi \ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ (x\psi)^*  \psi \ dx=\lang x\rang^*
\lang p\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)^* \psi\ dx=\lang p\rang^*

角動量[编辑]

在三維空間裏,角動量算符的x-分量\hat{L}_x是厄米算符。因為

\lang L_x\rang^*=\lang yp_z-zp_y\rang^*=\lang yp_z-zp_y\rang=\lang L_x\rang

其中,yz分別是位置的y-分量與z-分量,p_yp_z分別是動量的y-分量與z-分量。

類似地,角動量算符的y-分量\hat{L}_y也是厄米算符。

參閱[编辑]

註釋[编辑]

  1. ^ 通常這句話成立,但也存在有例外。思考氫原子角量子數為零(\ell=0)的量子態,它是L_xL_yL_z的本徵態,本徵值都為零,而這三個自伴算符都互不對易,它們對應的可觀察量彼此之間都是不相容可觀察量。A. P. French, An Introduction to Quantum Phusics, W. W. Norton, Inc., pp. 452–453, 1978, ISBN 0-393-09106-0 请检查|isbn=值 (帮助) (英文) 

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914