可觀察量

斯特恩-革拉赫實驗儀器，可以將入射的銀原子束，分裂成兩道銀原子束，一道銀原子束的 $S_z$ 為上旋，另一道銀原子束的 $S_z$ 為下旋。在這裏，$S_z$ 是可觀察量。

在物理學裏，特別是在量子力學裏，處於某種狀態的物理系統，它所具有的一些性質，可以經過一序列的物理運作過程而得知。這些可以得知的性質，稱為可觀察量(observable)。例如，物理運作可能涉及到施加電磁場於物理系統，然後使用實驗儀器測量某物理量的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量獲得的可觀察量，都可以用定義於物理系統狀態的實函數來表示。在量子力學裏，物理系統的狀態稱為量子態，其與可觀察量的關係更加微妙，必須使用線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來代表，量子態的可觀察量可以用厄米算符來代表。

數學表述

本徵態

假設，物理量 $O$ 是某量子系統的可觀察量，其對應的量子算符 $\hat{O}$ ，可能有很多不同的本徵值 $O_i$ 與對應的本徵態 $|e_i\rang$ ，這些本徵態 $|e_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n$ ，形成了具有正交歸一性的基底：

$\lang e_i |e_j\rang=\delta_{ij}$ ；

其中，$\delta_{ij}$ 是克羅內克函數。

任何描述這量子系統的量子態 $|\psi\rang$ ，都可以用這基底的本徵態表示為

$|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang$ ；

其中，$c_i=\lang e_i |\psi \rang$ 是複係數，是在量子態 $|e_i\rang$ 裏找到量子態 $|\psi\rangle$ 的機率幅。

假設，量子態 $|\psi\rang$ 等於這些本徵態之中的一個本徵態 $|e_k\rang$ ，則對於這量子系統，測量可觀察量 $O$ ，得到的結果必定等與本徵值 $O_k$ ，機率為1，量子態 $|\psi\rang$ 是「確定態」。

統計詮釋

根據統計詮釋，對應於可觀察量的量子算符可能有很多本徵值，測量結果只能是其中一個本徵值，而且，每一個本徵值出現的機會呈機率性。測量這個動作會將量子系統的量子態改變為對應於本徵值的本徵態，並且，在之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是這本徵態。

假設，某量子系統的量子態為

$|\psi\rang=\sum_i \ c_i|e_i\rang$ 。

測量這個動作會將量子系統的量子態改變為算符 $\hat{O}$ 的一個本徵態。假設量子態改變為本徵態 $|e_i\rang$ ，則改變為這本徵態的機率為 $p_i=|c_i|^2$ ，測量結果是本徵值 $O_i$ ，得到這本徵值的機率也為 $p_i$ 。在測量之後短暫片刻內，量子系統的量子態仍舊是本徵態 $|e_i\rang$ 。

將算符 $\hat{O}$ 作用於量子態 $|\psi\rang$ ，會形成新量子態 $|\phi\rang$ ：

$|\phi\rang=\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i\hat{O}| e_i\rang=\sum_i \ c_i O_i| e_i\rang$ 。

從左邊乘以量子態 $\lang\psi|$ ，經過一番運算，可以得到

$\lang\psi|\phi\rang =\lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i \ c_i O_i\lang\psi| e_i\rang=\sum_i\ |c_i|^2O_i =\sum_i\ p_iO_i$ 。

所以，每一個本徵值與其機率的乘積，所有乘積的代數和就是可觀察量 $O$ 的期望值：

$\lang O\rang\ \stackrel{def}{=}\ \lang\psi|\hat{O}|\psi\rang=\sum_i\ p_iO_i$ 。

厄米算符

每一種經過測量而得到的物理量都是實值，因此，可觀察量 $O$ 的期望值是實值：

$\lang O\rang=\lang O\rang^*$ 。

對於任意量子態 $|\psi\rang$ ，這關係都成立：

$\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang=\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*$ 。

根據伴隨算符的定義，假設 $\hat{O}^{\dagger}$ 是 $\hat{O}$ 的伴隨算符，則 $\lang \psi|\hat{O}|\psi\rang^*=\lang\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rang$ 。因此，

$\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}$ 。

這正是厄米算符的定義。所以，表現可觀察量的算符，都是厄米算符。

不相容可觀察量

假若兩種可觀察量的對易算符不等於 0，則稱這兩種可觀察量為「不相容可觀察量」：

$[\hat{A},\hat{B}]\ne 0$ ；

其中，$\hat{A}$ 、$\hat{B}$ 分別是可觀察量 $A$ 、$B$ 的算符。

這兩種算符 $\hat{A}$ 與 $\hat{B}$ 絕對不會有共同的基底。一般而言，$\hat{A}$ 的本徵態與 $\hat{B}$ 的本徵態不同。假設量子系統的量子態為 $|\psi\rang$ 。對於算符 $\hat{A}$ ，所有本徵值為 $a_i$ 的本徵態 $|\alpha_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n$ ，形成一個基底。量子態 $|\psi\rang$ 可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

$|\psi\rang=\sum_i \ c_i|\alpha_i\rang$ ；

其中，$c_i=\lang \alpha_i |\psi \rang$ 是複係數，是在量子態 $|\alpha_i\rang$ 裏找到量子態 $|\psi\rangle$ 的機率幅。

對於算符 $\hat{B}$ ，所有本徵值為 $b_i$ 的本徵態 $|\beta_i\rang,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,n$ ，形成了另外一個基底。量子態 $|\psi\rang$ 可以表示為這組基底本徵態的線性組合：

$|\psi\rang=\sum_i \ d_i|\beta_i\rang$ ；

其中，$d_i=\lang \beta_i |\psi \rang$ 是複係數，是在量子態 $|\beta_i\rang$ 裏找到量子態 $|\psi\rangle$ 的機率幅。

對於量子系統的可觀察量 $A$ 做測量，可能得到的結果是各種本徵態 $|\alpha_i\rang$ 的本徵值 $a_i$ ，獲得這些不同結果的機會具有機率性，可以表達為機率分佈，結果為 $a_i$ 的機率是 $|c_i|^2$ 。

假設測量的結果是本徵值 $a_j$ ，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態 $|\alpha_j\rang$ 。假若立刻再測量可觀察量 $A$ ，由於量子態仍舊是本徵態 $|\alpha_j\rang$ ，所得到的測量值是本徵值 $a_i$ 機率為1。假若立刻再對本徵態 $|\alpha_j\rang$ 測量可觀察量 $B$ ，則會得到統計性的答案。假設測量的結果是本徵值 $b_k$ ，則可以推斷，在測量之後短暫片刻內，量子態是本徵態 $|\beta_k\rang$ 。

根據不確定性原理，

$\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right|$ 。

設定 $\chi=\left|\frac{\lang[ \hat{A},\hat{B}]\rang}{2i}\right|$ 。假設，$A$ 與 $B$ 是兩個不相容可觀察量，則 $\chi>0$ 。而 $A$ 的不確定性與 $B$ 的不確定性的乘積 $\Delta A\ \Delta B$ ，必定大於或等於 $\chi$ 。

實例

為了具體計算位置與動量的期望值，可以將量子態表現於位置空間，以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。

位置與動量

位置 $x$ ，動量 $p$ 都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：

$\lang x\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* x \psi \ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ (x\psi)^* \psi \ dx=\lang x\rang^*$ ，

$\lang p\rang=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)^* \psi\ dx=\lang p\rang^*$ 。

角動量

在三維空間裏，角動量算符的 x-分量 $\hat{L}_x$ 是厄米算符。因為

$\lang L_x\rang^*=\lang yp_z-zp_y\rang^*=\lang yp_z-zp_y\rang=\lang L_x\rang$ ；

其中， $y$ 與 $z$ 分別是位置的 y-分量與 z-分量，$p_y$ 與 $p_z$ 分別是動量的 y-分量與 z-分量。

類似地，角動量算符的 y-分量 $\hat{L}_y$ 也是厄米算符。

參閱

• 位置算符
• 動量算符
• 角動量算符
• 哈密頓算符