可觀察量

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在物理學裏，特別是在量子力學裏，一個系統態的某些性質，可以經過一序列的「物理運作」而得知。這些可以得知的性質，稱為可觀察量(observable)。例如，將各種不同的電磁場作用於物理系統，然後紀錄下來測量儀器測得的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量到的可觀察量，都可以用一個實值的，定義於所有系統態的函數來表示。在量子力學裏，系統態（稱為量子態）與可觀察量的關係又更加的微妙，必須用到一些基本線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來表示，量子態的可觀察量可以用厄米算符來表示。

數學表述

確定態

給予一個系綜許多相同的量子系統。每一個量子系統的量子態 $|f\rangle\,\!$ 都一樣。標記量子態的可觀察量 $O\,\!$ 的算符為 $\hat{O}\,\!$ 。假若，對於這系綜內，每一個量子態的可觀察量 $O\,\!$ 所作的測量，都得到同樣的測量值 $\lambda_O\,\!$ ，那麼，不確定性 $\sigma_{O}=0\,\!$ ，這量子態 $|f\rangle\,\!$ 是確定態，是 $\hat{O}\,\!$ 的本徵態，本徵值為 $\lambda_O\,\!$ ：

$\hat{O}|f\rangle=\lambda_O|f\rangle\,\!$ 。

對於可觀察量算符 $\hat{O}\,\!$ ，所有本徵值為 $\lambda_i\,\!$ 的本徵態 $|f_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\!$ ，形成了一組基底量子態。任何一個量子態 $|\psi\rangle\,\!$ ，都可以用這組基底量子態表達為

$|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle=\sum_i \ C_i|f_i\rangle \,\!$ ；

其中，$C_i=\langle f_i|\psi\rangle\,\!$ ，$C_i\,\!$ 是 $|\psi\rangle\,\!$ 處於 $|f_i\rangle\,\!$ 的機率幅。

基底量子態具有正交歸一性，

$\langle f_i |f_j\rangle=\delta_{ij}\,\!$ ；

其中，$\delta_{ij}\,\!$ 是克羅內克函數。

廣義統計詮釋

假設，一個量子系統處於量子態 $|\psi\rangle\,\!$ 。根據廣義統計詮釋，對於可觀察量 $O\,\!$ 所做的一個測量，結果得到的數值為本徵值 $\lambda_i\,\!$ 的機率是 $p_i=|C_i|^2\,\!$ 。所以，考慮到每一個可能的本徵值和其機率，$O\,\!$ 的期望值是

$\langle O\rangle=\sum_i \lambda_i p_i=\sum_i \lambda_i |C_i|^2\,\!$ ；

將量子態 $|\psi\rangle\,\!$ 寫為 $\hat{O}\,\!$ 的基底量子態的線性組合：

$|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle\,\!$ 。

那麼，算符 $\hat{O}\,\!$ 作用於量子態 $|\psi\rangle\,\!$ ，所形成的新量子態 $|\phi\rangle\,\!$ ，可以寫為

$|\phi\rangle=\hat{O}|\psi\rangle=\sum_i \hat{O}| f_i\rangle \langle f_i|\psi\rangle=\sum_i \lambda_i| f_i\rangle \langle f_i|\psi\rangle\,\!$ 。

從左邊乘以量子態 $\langle\psi|\,\!$ ，則可得到 $|\phi\rangle\,\!$ 處於 $|\psi\rangle\,\!$ 的機率幅：

$\begin{align}\langle\psi|\hat{O}|\psi\rangle & =\sum_i \langle\psi|\hat{O}| f_i\rangle \langle f_i|\psi\rangle=\sum_i \langle\psi|\lambda_i| f_i\rangle \langle f_i|\psi\rangle=\sum_i \lambda_i\langle\psi| f_i\rangle \langle f_i|\psi\rangle \\ & =\sum_i\lambda_i|C_i|^2 \\ \end{align}\,\!$ 。

這正是 $O\,\!$ 的期望值。所以，對於任意量子態，可觀察量 $O\,\!$ 的期望值可以寫為

$\langle O\rangle=\langle\psi|\hat{O}|\psi\rangle\,\!$ 。

採用位置空間，量子態 $|\psi\rangle\,\!$ 的波函數為 $\psi(x)\,\!$ ，其對應的代數算符為 $\tilde{O}\,\!$ ：

$\langle O\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)\tilde{O}\psi(x)\ dx\,\!$ 。

厄米算符

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 $O\,\!$ 的期望值是實值的：

$\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!$ 。

對於任意量子態 $|\psi\rangle\,\!$ ，這關係都成立：

$\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!$ 。

根據伴隨算符的定義，假設 $\hat{O}^{\dagger}\,\!$ 是 $\hat{O}\,\!$ 的伴隨算符，則 $\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\!$ 。因此，

$\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!$ 。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 $\hat{O}\,\!$ ，都是厄米算符。

不相容可觀察量

假若，兩個可觀察量的交換算符不等於 0 ，則稱這兩個可觀察量為不相容可觀察量。用方程式表達，

$[\hat{A},\hat{B}]\ne 0\,\!$ ；

其中，$\hat{A}\,\!$ ，$\hat{B}\,\!$ 都是可觀察量的算符。

這兩個算符 $\hat{A}\,\!$ 與 $\hat{B}\,\!$ 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，$\hat{A}\,\!$ 的本徵態與 $\hat{B}\,\!$ 的本徵態不同。給予一個量子系統，量子態為 $|\psi\rangle\,\!$ 。對於可觀察量算符 $\hat{A}\,\!$ ，所有本徵值為 $a_i\,\!$ 的本徵態 $|f_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\!$ ，形成了一組基底量子態。量子態 $|\psi\rangle\,\!$ 可以表達為這基底量子態的線性組合：$|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle\,\!$ 。對於可觀察量算符 $\hat{B}\,\!$ ，所有本徵值為 $b_i\,\!$ 的本徵態 $|g_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\!$ ，形成了另外一組基底量子態。量子態 $|\psi\rangle\,\!$ 可以表達為這基底量子態的線性組合：$|\psi\rangle=\sum_i \ |g_i\rangle\langle g_i|\psi\rangle\,\!$ 。

根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量 $A\,\!$ ，得到的測量值為其本徵值 $a_i\,\!$ ，則量子態機率地塌縮為本徵態 $|f_i\rangle\,\!$ 。假若，我們立刻再測量可觀察量 $A\,\!$ ，得到的答案必定是 $a_i\,\!$ ，在很短的時間內，量子態仍舊處於 $|f_i\rangle\,\!$ 。可是，假若，我們改為立刻測量可觀察量 $B\,\!$ ，則量子態不會停留於本徵態 $|f_i\rangle\,\!$ ，而會機率地塌縮為 $\hat{B}\,\!$ 本徵值是 $b_j\,\!$ 的本徵態 $|g_j\rangle\,\!$ 。

根據不確定性原理，

$\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| \,\!$ 。

設定 $\chi=\left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| \,\!$ 。假若，$A\,\!$ 與 $B\,\!$ 是兩個不相容可觀察量，則 $\chi>0\,\!$ 。而 $A\,\!$ 的不確定性與 $B\,\!$ 的不確定性的乘積 $\Delta A\ \Delta B \,\!$ ，必定大於或等於 $\chi\,\!$ 。

實例

為了具體地計算位置與動量的期望值，我們可以將量子態以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。等到我們熟悉了它們的運算模法，我們可以簡易地在較抽象的量子態層級運算。

位置與動量

位置 $x\,\!$ ，動量 $p\,\!$ 都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：

$\langle x\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* x \psi \ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ (x\psi)^* \psi \ dx=\langle x\rangle^*\,\!$ ，

$\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)^* \psi\ dx=\langle p\rangle^*\,\!$ 。

角動量階梯算符

在三維空間裏，角動量算符的 x-分量 $\hat{L}_x\,\!$ 是厄米算符。因為

$\langle L_x\rangle^*=\langle yp_z-zp_y\rangle^*=\langle yp_z-zp_y\rangle=\langle L_x\rangle$ ；

其中， $y\,\!$ 與 $z\,\!$ 是位置的 y-分量與 z-分量，$p_y\,\!$ 與 $p_z\,\!$ 是動量的 y-分量與 z-分量。

類似地，角動量算符的 y-分量 $\hat{L}_y\,\!$ 也是厄米算符。可是，角動量的階梯算符 $\hat{L}_+=\hat{L}_x+i\hat{L}_y\,\!$ 不是厄米算符：

$\langle L_+\rangle^*=\langle L_x+iL_y\rangle^*=\langle L_x-iL_y\rangle\ne\langle L_+\rangle \,\!$ 。

所以，角動量階梯算符 $\hat{L}_+\,\!$ 是不可觀察量。

參閱

• 位置算符
• 動量算符
• 角動量算符
• 哈密頓算符

參考文獻

• Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004:  pp. 96-109. ISBN 0-13-111892-7.