可觀察量

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在物理學裏，特別是在量子力學裏，一個系統態的某些性質，可以經過一序列的「物理運作」而得知。這些可以得知的性質，稱為可觀察量(observable)。例如，將各種不同的電磁場作用於物理系統，然後紀錄下來測量儀器測得的數值。在經典力學的系統裏，任何可以用實驗測量到的可觀察量，都可以用一個實值的，定義於所有系統態的函數來表示。在量子力學裏，系統態（稱為量子態）與可觀察量的關係又更加的微妙，必須用到一些基本線性代數來解釋。根據量子力學的數學表述，量子態可以用存在於希爾伯特空間的態向量來表示，量子態的可觀察量可以用厄米算符來表示。

目录

[编辑] 數學表述

[编辑] 確定態

給予一個系綜許多相同的量子系統。每一個量子系統的量子態 |f\rangle\,\! 都一樣。標記量子態的可觀察量 O\,\! 的算符為 \hat{O}\,\! 。假若，對於這系綜內，每一個量子態的可觀察量 O\,\! 所作的測量，都得到同樣的測量值 \lambda_O\,\! ，那麼，不確定性 \sigma_{O}=0\,\! ，這量子態 |f\rangle\,\! 是確定態，是 \hat{O}\,\! 的本徵態，本徵值為 \lambda_O\,\! ：

\hat{O}|f\rangle=\lambda_O|f\rangle\,\! 。

對於可觀察量算符 \hat{O}\,\! ，所有本徵值為 \lambda_i\,\! 的本徵態 |f_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\! ，形成了一組基底量子態。任何一個量子態 |\psi\rangle\,\! ，都可以用這組基底量子態表達為

|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle=\sum_i \ C_i|f_i\rangle \,\! ；

其中，C_i=\langle f_i|\psi\rangle\,\! ，C_i\,\! 是 |\psi\rangle\,\! 處於 |f_i\rangle\,\! 的機率幅。

基底量子態具有正交歸一性，

\langle f_i |f_j\rangle=\delta_{ij}\,\! ；

其中，\delta_{ij}\,\! 是克羅內克函數。

[编辑] 廣義統計詮釋

假設，一個量子系統處於量子態 |\psi\rangle\,\! 。根據廣義統計詮釋，對於可觀察量 O\,\! 所做的一個測量，結果得到的數值為本徵值 \lambda_i\,\! 的機率是 p_i=|C_i|^2\,\! 。所以，考慮到每一個可能的本徵值和其機率，O\,\! 的期望值是

\langle O\rangle=\sum_i \lambda_i p_i=\sum_i \lambda_i |C_i|^2\,\! ；

將量子態 |\psi\rangle\,\! 寫為 \hat{O}\,\! 的基底量子態的線性組合：

|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle\,\! 。

那麼，算符 \hat{O}\,\! 作用於量子態 |\psi\rangle\,\! ，所形成的新量子態 |\phi\rangle\,\! ，可以寫為

|\phi\rangle=\hat{O}|\psi\rangle=\sum_i \hat{O}| f_i\rangle \langle f_i|\psi\rangle=\sum_i \lambda_i| f_i\rangle \langle f_i|\psi\rangle\,\! 。

從左邊乘以量子態 \langle\psi|\,\! ，則可得到 |\phi\rangle\,\! 處於 |\psi\rangle\,\! 的機率幅：

\begin{align}\langle\psi|\hat{O}|\psi\rangle & =\sum_i \langle\psi|\hat{O}| f_i\rangle \langle f_i|\psi\rangle=\sum_i \langle\psi|\lambda_i| f_i\rangle \langle f_i|\psi\rangle=\sum_i \lambda_i\langle\psi| f_i\rangle \langle f_i|\psi\rangle \\ & =\sum_i\lambda_i|C_i|^2 \\ \end{align}\,\! 。

這正是 O\,\! 的期望值。所以，對於任意量子態，可觀察量 O\,\! 的期望值可以寫為

\langle O\rangle=\langle\psi|\hat{O}|\psi\rangle\,\! 。

採用位置空間，量子態 |\psi\rangle\,\! 的波函數為 \psi(x)\,\! ，其對應的代數算符為 \tilde{O}\,\! ：

\langle O\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*(x)\tilde{O}\psi(x)\ dx\,\! 。

[编辑] 厄米算符

由於每一種經過測量而得到的物理量都是實值的。所以，可觀察量 O\,\! 的期望值是實值的：

\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\! 。

對於任意量子態 |\psi\rangle\,\! ，這關係都成立：

\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\! 。

根據伴隨算符的定義，假設 \hat{O}^{\dagger}\,\! 是 \hat{O}\,\! 的伴隨算符，則 \langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\! 。因此，

\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\! 。

這正是厄米算符的定義。所以，表示可觀察量的算符 \hat{O}\,\! ，都是厄米算符。

[编辑] 不相容可觀察量

假若，兩個可觀察量的交換算符不等於 0 ，則稱這兩個可觀察量為不相容可觀察量。用方程式表達，

[\hat{A},\hat{B}]\ne 0\,\! ；

其中，\hat{A}\,\! ，\hat{B}\,\! 都是可觀察量的算符。

這兩個算符 \hat{A}\,\! 與 \hat{B}\,\! 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，\hat{A}\,\! 的本徵態與 \hat{B}\,\! 的本徵態不同。給予一個量子系統，量子態為 |\psi\rangle\,\! 。對於可觀察量算符 \hat{A}\,\! ，所有本徵值為 a_i\,\! 的本徵態 |f_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\! ，形成了一組基底量子態。量子態 |\psi\rangle\,\! 可以表達為這基底量子態的線性組合：|\psi\rangle=\sum_i \ |f_i\rangle\langle f_i|\psi\rangle\,\! 。對於可觀察量算符 \hat{B}\,\! ，所有本徵值為 b_i\,\! 的本徵態 |g_i\rangle,\quad i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots\,\! ，形成了另外一組基底量子態。量子態 |\psi\rangle\,\! 可以表達為這基底量子態的線性組合：|\psi\rangle=\sum_i \ |g_i\rangle\langle g_i|\psi\rangle\,\! 。

根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量 A\,\! ，得到的測量值為其本徵值 a_i\,\! ，則量子態機率地塌縮為本徵態 |f_i\rangle\,\! 。假若，我們立刻再測量可觀察量 A\,\! ，得到的答案必定是 a_i\,\! ，在很短的時間內，量子態仍舊處於 |f_i\rangle\,\! 。可是，假若，我們改為立刻測量可觀察量 B\,\! ，則量子態不會停留於本徵態 |f_i\rangle\,\! ，而會機率地塌縮為 \hat{B}\,\! 本徵值是 b_j\,\! 的本徵態 |g_j\rangle\,\! 。

根據不確定性原理，

\Delta A\ \Delta B \ge \left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| \,\! 。

設定 \chi=\left|\frac{\langle[ A,\ B]\rangle}{2i}\right| \,\! 。假若，A\,\! 與 B\,\! 是兩個不相容可觀察量，則 \chi>0\,\! 。而 A\,\! 的不確定性與 B\,\! 的不確定性的乘積 \Delta A\ \Delta B \,\! ，必定大於或等於 \chi\,\! 。

[编辑] 實例

為了具體地計算位置與動量的期望值，我們可以將量子態以位置空間的波函數來表示，使用對應的代數算符。等到我們熟悉了它們的運算模法，我們可以簡易地在較抽象的量子態層級運算。

[编辑] 位置與動量

位置 x\,\! ，動量 p\,\! 都是可觀察量，它們的算符都是厄米算符：

\langle x\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* x \psi \ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ (x\psi)^* \psi \ dx=\langle x\rangle^*\,\! ，
\langle p\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^* \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial }{\partial x}\psi\right)^* \psi\ dx=\langle p\rangle^*\,\! 。

[编辑] 角動量階梯算符

在三維空間裏，角動量算符的 x-分量 \hat{L}_x\,\! 是厄米算符。因為

\langle L_x\rangle^*=\langle yp_z-zp_y\rangle^*=\langle yp_z-zp_y\rangle=\langle L_x\rangle ；

其中， y\,\! 與 z\,\! 是位置的 y-分量與 z-分量，p_y\,\! 與 p_z\,\! 是動量的 y-分量與 z-分量。

類似地，角動量算符的 y-分量 \hat{L}_y\,\! 也是厄米算符。可是，角動量的階梯算符 \hat{L}_+=\hat{L}_x+i\hat{L}_y\,\! 不是厄米算符：

\langle L_+\rangle^*=\langle L_x+iL_y\rangle^*=\langle L_x-iL_y\rangle\ne\langle L_+\rangle \,\! 。

所以，角動量階梯算符 \hat{L}_+\,\! 是不可觀察量。

[编辑] 參閱

[编辑] 參考文獻

  • Griffiths, David J.. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004:  pp. 96-109. ISBN 0-13-111892-7. 
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