非奇异方阵

若方块矩阵$A\,$满足条件$\left|A\right|\ne0$，则称$A\,$为非奇异方阵，否则称为奇异方阵。

相关定理

$n\,$阶方阵$A\,$是非奇异方阵的充要条件是$A\,$可逆，即可逆方阵就是非奇异方阵。

对一个$n\,$阶方阵$A\,$，如果存在一个$n\,$阶方阵$B\,$使$AB=BA=I_n\,$（$I_n\,$是单位矩阵），则称$A\,$是可逆的，也称$A\,$为非奇异矩阵。$B\,$是$A\,$的逆阵。

• 一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
• 一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
• 一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
• 一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

性质

給定一個 $n\,$ 階方陣 $A\,$，則下面的敘述都是等價的：

• $A\,$ 是可逆的。
• $A\,$ 的行列式不為零。
• $A\,$ 的秩等於 $n\,$（$A\,$ 满秩）。
• $A\,$ 的轉置矩陣 $A^T\,$也是可逆的。
• $A^TA\,$ 也是可逆的。
• 存在一 $n\,$ 階方陣 $B\,$ 使得 $AB=I_n\,$。
• 存在一 $n\,$ 階方陣 $B\,$ 使得 $BA=I_n\,$。

参见

• 逆阵
• 正定矩阵