可除群

在群論中，一個可除群是一個滿足以下條件的阿貝爾群 $G$：對每個正整數 $n$ 及元素 $g \in G$，存在 $h \in G$ 使得 $nh = g$。等價的表法是：$\forall n>0, \; nG=G$。事實上，可除群恰好是 $\Z$ 上的內射模，所以有時也稱之為內射群。

例子

• 有理數 $\mathbb{Q}$ 對加法構成可除群。
• 一般而言，任何 $\mathbb{Q}$-向量空間對加法都構成可除群。
• 可除群的商群仍可除，如 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$。
• p-Prüfer 群 $\Z(p^\infty) := \{ e^\frac{2i\pi}{p^m} : m \in \N_{\geq 0} \}$ 是可除群
• 在模型論中，任何存在性封閉的群皆可解。

可除群結構定理

令 $G$ 為可解群，則其撓子群 $\mathrm{Tor}(G)$ 亦可除。由於可解群是 $\Z$-內射模，$\mathrm{Tor}(G)$ 是直和項，即：

$G = \mathrm{Tor}(G) \oplus G/\mathrm{Tor}(G).$

商群 $G/\mathrm{Tor}(G)$ 亦可解，而且其中沒有撓元，所以它是 $\mathbb{Q}$-上的向量空間：存在集合 $I$ 使得

$G/\mathrm{Tor}(G) = \oplus_{i \in I} \mathbb Q = \mathbb Q^{(I)}.$

撓子群的結構稍複雜，然而可以證明對所有素數 $p$，存在 $I_p$ 使得

$(\mathrm{Tor}(G))_p = \oplus_{i \in I_p} \mathbb Z[p^\infty] = \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)},$

其中 $\mathrm{Tor}(G))_p$ 是 $\mathrm{Tor}(G)$ 是的 $p$-準素部分。於是：

$G = (\oplus_P \mathbb Z[p^\infty]^{(I_p)}) \oplus \mathbb Q^{(I)}.$

推廣

一個環 $R$ 上的左可除模是滿足 $\forall r \neq 0 \in R, \; rM=M$ 的模 $M$。可除群不外是可除 $\Z$-模。主理想域上的可除模恰好是內射模。