史瓦西度規

史瓦西度規（Schwarzschild metric），又稱史瓦西幾何、史瓦西解，是卡爾·史瓦西^註於1915年針對广义相对论的核心方程——愛因斯坦場方程式——关于球状物质分布的解。此解所對應的幾何，可以是球狀星球以外的時空，也可以是靜止不旋轉、不帶電荷之黑洞（稱「史瓦西黑洞」）的時空幾何。

史瓦西度規

利用史瓦西座標，史瓦西度規可以表示成如下形式：

$\mathrm{d}s^{2} = c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) \mathrm{d}t^2 - \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2 - r^2 \mathrm{d}\Omega^2,$

其中$G$是重力常數，$M$解釋為產生重力的物體之質量，而

$\mathrm{d}\Omega^2 = \mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2\,$

是二維球面(2-sphere)上的標準度規（即：立體角的標準單元）。

常數

$r_s = \frac{2GM}{c^2}$

稱作史瓦西半徑，在史瓦西解中扮演關鍵角色。

史瓦西度規實際上是真空場方程式的解析解，意思上表示其僅在重力來源物體以外的地方能夠成立。也就是說，對一半徑$R$之球狀體，此解僅在$r > R$時成立。然而，若$R$少於史瓦西半徑$r_s$，此時解描述的是一個黑洞（見下文）。為了要描述重力來源物體內部與外部兩者的重力場，史瓦西解必須跟一個適當的內部解在$r = R$處相洽。

注意到當$M\to 0$或$r \rightarrow\infty$，史瓦西度規近似為閔可夫斯基時空

$\mathrm{d}s^{2} = c^2 \mathrm{d}t^2 - \mathrm{d}r^2 - r^2 \mathrm{d}\Omega^2.\,$

直觀上說，這樣的結果是合理的：既然遠離了重力來源物體，時空理應變得近乎平直。具有這樣性質的度規稱作是「漸進平直 (asymptotically flat)」。

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