史瓦西度規

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史瓦西度規Schwarzschild metric),又稱史瓦西幾何、史瓦西解,是卡爾·史瓦西於1915年針對广义相对论的核心方程——愛因斯坦場方程式——关于球状物质分布的解。此解所對應的幾何,可以是球狀星球以外的時空,也可以是靜止不旋轉、不帶電荷黑洞(稱「史瓦西黑洞」)的時空幾何。

史瓦西度規[编辑]

利用史瓦西座標史瓦西度規可以表示成如下形式:

\mathrm{d}s^{2} = c^2 \left(1-\frac{2GM}{c^2 r} \right) \mathrm{d}t^2 - \left(1-\frac{2GM}{c^2 r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2 - r^2 \mathrm{d}\Omega^2,

其中G重力常數M解釋為產生重力的物體之質量,而

\mathrm{d}\Omega^2 = \mathrm{d}\theta^2+\sin^2\theta \mathrm{d}\phi^2\,

二維球面(2-sphere)上的標準度規(即:立體角的標準單元)。

常數

r_s = \frac{2GM}{c^2}

稱作史瓦西半徑,在史瓦西解中扮演關鍵角色。

史瓦西度規實際上是真空場方程式的解析解,意思上表示其僅在重力來源物體以外的地方能夠成立。也就是說,對一半徑R之球狀體,此解僅在r > R時成立。然而,若R少於史瓦西半徑r_s,此時解描述的是一個黑洞(見下文)。為了要描述重力來源物體內部與外部兩者的重力場,史瓦西解必須跟一個適當的內部解在r = R處相洽。

注意到當M\to 0r \rightarrow\infty,史瓦西度規近似為閔可夫斯基時空

\mathrm{d}s^{2} = c^2 \mathrm{d}t^2 - \mathrm{d}r^2 - r^2 \mathrm{d}\Omega^2.\,

直觀上說,這樣的結果是合理的:既然遠離了重力來源物體,時空理應變得近乎平直。具有這樣性質的度規稱作是「漸進平直 (asymptotically flat)」。

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