叶戈罗夫定理

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测度论中,叶戈罗夫定理确立了一个可测函数逐点收敛序列一致连续的条件。这个定理以俄国物理学家和几何学家德米特里·叶戈罗夫命名,他在1911年出版了该定理。

叶戈罗夫定理与紧支撑连续函数在一起,可以用来证明可积函数卢津定理

定理的陈述[编辑]

设(M,d)为一个可分度量空间(例如实数,度量为通常的距离d(a,b) = |a − b|)。给定某个测度空间(X,Σ,μ)上的M-值可测函数的序列(fn),以及一个有限μ-测度的可测子集A,使得(fn)在A上μ-几乎处处收敛于极限函数f,那么以下结果成立:对于每一个ε > 0,都存在A的一个可测子集B,使得μ(B) < ε,且(fn)在相对补集A \ B上一致收敛于f

在这里,μ(B)表示B的μ-测度。该定理说明,在A上几乎处处逐点收敛,意味着除了在任意小测度的某个子集B上外一致收敛。这种收敛又称为几乎一致收敛。

假设的讨论[编辑]

注意μ(A) < ∞的假设是必要的。在勒贝格测度下,考虑定义在实直线上的实值指示函数的序列:

f_n(x) = 1_{[n,n+1]}(x),\qquad n\in\mathbb{N},\ x\in\mathbb{R}

这个序列处处逐点收敛于零函数,但对于任何有限测度的集合B,它在R \ B上不一致收敛。

度量空间的可分性是需要的,以保证对于M-值可测函数fg,距离d(f(x), g(x))也是x的可测实值函数。

证明[编辑]

对于实数nk,定义集合En,k为以下并集

 E_{n,k} = \bigcup_{m\ge n} \Bigl\{ x\in A \,\Big|\, d(f_m(x),f(x)) \ge \frac1k \Bigr\}.

n增加时这些集合逐渐变小,意味着En+1,k总是En,k的子集,因为第一个并集包含了较少的集合。一个点x,使得序列(fm(x))收敛于f(x),不能位于每一个En,k中(对于固定的k),因为fm(x)最终必须离f(x)比离1/k更近。因此根据在A上μ-几乎处处逐点收敛的假设,有:

\mu\biggl(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}E_{n,k}\biggr)=0

对于每一个k。由于A的测度是有限的,我们便可从上面推出连续性;因此对于每一个k,都存在某个自然数nk,使得:

\mu(E_{n_k,k}) < \frac\varepsilon{2^k}.

对于这个集合中的x,我们认为逼近f(x)的1/k-邻域的速度太慢。定义

 B = \bigcup_{k\in\mathbb{N}} E_{n_k,k}

A中所有点x的集合,使得逼近f(x)的至少一个1/k-邻域的速度太慢。因此,在集合差A \ B上,我们便得出一致收敛。

根据μ的σ可加性,并利用几何级数,我们便得到:

\mu(B) 
\le\sum_{k\in\mathbb{N}}\mu(E_{n_k,k})
\le\sum_{k\in\mathbb{N}}\frac\varepsilon{2^k}
=\varepsilon.

参考文献[编辑]

  1. Richard Beals (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
  2. Dmitri Egoroff (1911). Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris, 152:135–157.
  3. Eric W. Weisstein et al. (2005). Egorov's Theorem. 于2005年4月19日访问。