合同矩阵

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线性代数,特别是二次型理论中,常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵AB合同的,如果有同数域上的可逆矩阵 P,使得

A=P^\mathrm{T} B P \,

其中的P^\mathrm{T}表示矩阵P转置矩阵

对于二次型的矩阵表示来说,做一次非退化的线性替换相当于将二次型的矩阵变为一个与其合同的矩阵。

性质[编辑]

合同关系是一个等价关系,也就是说满足:

反身性:A=I_n^\mathrm{T} A I_n
对称性:A合同于B,则可以推出B合同于A
传递性:A合同于BB合同于C,则可以推出A合同于C

由于每个二次型都可以经过线性替换变成若干个平方和的形式,对于矩阵来说,就是每个对称矩阵都合同于一个对角矩阵,后者称为一个标准形。根据谱定理,替换的过渡矩阵可以是一个正交矩阵

如果不考虑替换矩阵的正交性,那么在复数域中,每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。对角线上的1的个数等于原来的矩阵的 。因此每个可逆的对称矩阵都合同于单位矩阵

在实数域中,根据惯性定理,每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和正负1构成的对角矩阵。如果设1的个数是p,-1的个数是q,那么给定(p,q)后,就确定了一个关于合同关系的等价类。数对(p,q)称为一个对称矩阵(或相应二次型)的惯性指数其中1的个数p称为正惯性指数, -1的个数q称为负惯性指数p-q叫做符号差。据此可以得出:合同关系将所有的对称矩阵分为 {  (n+2)(n+1) \over 2 } 个等价类。

正定二次型[编辑]

一个二次型被称为半正定的,如果它对应的对称矩阵在实数域内合同到一个一个对角线上元素只由0和1构成的对角矩阵。如果一个二次型的矩阵在实数域内合同于单位矩阵,那么称其为正定二次型。一个二次型是半正定二次型当且仅当它的正惯性指数等于它对应的矩阵的秩;是正定二次型当且仅当它的正惯性指数是 n。 正定二次型必然是可逆矩阵,而且它的行列式大于0。

同样的可以定义半负定、负定和不定的二次型。

參見[编辑]

参考资料[编辑]

  • 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组,《高等代数》,高等教育出版社,2003年。