合成列

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

抽象代數中。合成列是藉著將代數對象(如等等)拆解為簡單的成份,以萃取不變量的方式之一。以模為例,一般上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次,考慮一組過濾 \{0\}= M_0 \subset \cdots \subset M_n=M,使每個子商 M_i/M_{i+1} 皆為單模;這些單模稱為合成因子n 稱為合成長度,都是 M 的不變量。亦可考慮 M 的子模範疇 \mathcal{A},此時 [M] \in K(\mathcal{A}) 可唯一表為合成因子之和;在此意義下,K-群提供了模的半單化

合成列未必存在,即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理斷言:若一對象有合成列,則子商的同構類是唯一確定的,至多差一個置換。因此,合成列給出有限群阿廷模的不變量。

群的情形[编辑]

G 為群,G 的合成列是對應於一族子群

\{e\} = H_0 \subset H_1 \subset \cdots \subset H_n = G

滿足 H_i \triangleleft H_{i+1},使其子商 H_{i+1}/H_i 皆為非平凡的單群;易言之,H_iH_{i+1} 的極大正規子群。這些子商也稱作合成因子。對於有限群,恆存在合成列。

模的情形[编辑]

固定環 RR-模 MM合成列是一族子模

\{0\} = J_0 \subset \cdots \subset J_n = M

其中每個子商 J_{k+1}/J_k 皆為非平凡的單模 。易言之,J_kJ_{k+1} 的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若 R阿廷環,根據 Hopkins-Levitzki 定理,任何有限生成R-模皆有合成列。

例子[编辑]

例子. 考慮 12 階循環群 C_{12},它具有三個相異的合成列

 C_1\triangleleft C_2\triangleleft C_6 \triangleleft C_{12},
 C_1\triangleleft C_2\triangleleft C_4\triangleleft C_{12},
 C_1\triangleleft C_3\triangleleft C_6 \triangleleft C_{12}

合成因子分別為

 C_2,C_3,C_2
 C_2,C_2,C_3
 C_3,C_2,C_2

其間僅差個置換。

若尔当-赫尔德定理[编辑]

定理. 若群 G〔或 R-模 M〕有合成列,則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關,其間至多差一個置換

略證:以下僅處理模的情形,群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列

\{0\} = M_0 \subset \cdots \subset M_r = M
\{0\} = M'_0 \subset \cdots \subset M'_s = M

\mathrm{min}(r,s)數學歸納法。若 \mathrm{min}(r,s)=0M=0,若 \mathrm{min}(r,s)=1M單模。以下假定 r, s \geq 2

M_{r-1}=M_{s-1},據歸納法假設,r-1=s-1M_{i+1}/M_iM'_{i+1}/M'_i0 \leq i \leq r-2)之間僅差置換。此外 M/M_{r-1}=M_/M'_{s-1},故定理成立。

M_{r-1} \neq M'_{s-1}。此時必有 M_{r-1}+M'_{s-1}=M。置 N := M_{r-1} \cap M'_{s-1},於是

M/M_{r-1} = (M_{r-1}+M'_{s-1})/M_{r-1} \simeq M'_{s-1}/N
M/M'_{s-1} = (M_{r-1}+M'_{s-1})/M'_{s-1} \simeq M_{r-1}/N

N 的合成列 \{0\}=K_0 \subset \cdots \subset K_t = N,依上式知

\{0\}=K_0 \subset \cdots \subset K_t=N \subset M_{r-1} \subset M \quad \ldots (*)
\{0\}=K_0 \subset \cdots \subset K_t=N \subset M'_{s-1} \subset M \quad \ldots (**)

皆為合成列,其合成因子僅差個換位。根據歸納法假設,若同刪去尾項 M,則 (*) 與 (**) 的合成因子分別等同於合成列 M_\bullet, M'_\bullet 的合成因子,至多差個置換。是故定理得證。

參見[编辑]

站外連結[编辑]