合成列

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在抽象代數中。合成列是藉著將代數對象（如群、模等等）拆解為簡單的成份，以萃取不變量的方式之一。以模為例，一般環上的模未必能表成單模的直和。但是我們可退而求其次，考慮一組過濾 $\{0\}= M_0 \subset \cdots \subset M_n=M$ ，使每個子商 $M i / M i + 1$ 皆為單模；這些單模稱為合成因子， $n$ 稱為合成長度，都是 $M$ 的不變量。亦可考慮 $M$ 的子模範疇 $\mathcal{A}$ ，此時 $[M] \in K(\mathcal{A})$ 可唯一表為合成因子之和；在此意義下，K-群提供了模的半單化。

合成列未必存在，即使存在也未必唯一。然而若尔当-赫尔德定理斷言：若一對象有合成列，則子商的同構類是唯一確定的，至多差一個置換。因此，合成列給出有限群或阿廷模的不變量。

[编辑] 群的情形

設 $G$ 為群， $G$ 的合成列是對應於一族子群

$\{e\} = H_0 \subset H_1 \subset \cdots \subset H_n = G$

滿足 $H_i \triangleleft H_{i+1}$ ，使其子商 $H i + 1 / H i$ 皆為非平凡的單群；易言之， $H i$ 是 $H i + 1$ 的極大正規子群。這些子商也稱作合成因子。對於有限群，恆存在合成列。

[编辑] 模的情形

固定環 $R$ 及 $R$ -模 $M$ 。 $M$ 的合成列是一族子模

$\{0\} = J_0 \subset \cdots \subset J_n = M$

其中每個子商 $J k + 1 / J k$ 皆為非平凡的單模。易言之， $J k$ 是 $J k + 1$ 的極大子模。這些子商也稱為合成因子。若 $R$ 是阿廷環，根據 Hopkins-Levitzki 定理，任何有限生成的 $R$ -模皆有合成列。

[编辑] 例子

例子. 考慮 12 階循環群 $C 12$ ，它具有三個相異的合成列

$C_1\triangleleft C_2\triangleleft C_6 \triangleleft C_{12}$ ,

$C_1\triangleleft C_2\triangleleft C_4\triangleleft C_{12}$ ,

$C_1\triangleleft C_3\triangleleft C_6 \triangleleft C_{12}$

合成因子分別為

C 2, C 3, C 2

C 2, C 2, C 3

C 3, C 2, C 2

其間僅差個置換。

[编辑] 若尔当-赫尔德定理

定理. 若群

G

〔或

R

-模

M

〕有合成列，則任兩個合成列都有相同長度。合成因子的同構類與合成列的選取無關，其間至多差一個置換。

略證：以下僅處理模的情形，群的情形可依此類推。假設存在兩個合成列

$\{0\} = M_0 \subset \cdots \subset M_r = M$

$\{0\} = M'_0 \subset \cdots \subset M'_s = M$

對 $min(r, s)$ 行數學歸納法。若 $min(r, s) = 0$ 則 $M = 0$ ，若 $min(r, s) = 1$ 則 $M$ 是單模。以下假定 $r, s \geq 2$ 。

若 $M r - 1 = M s - 1$ ，據歸納法假設， $r - 1 = s - 1$ 且 $M i + 1 / M i$ 與 $M' i + 1 / M' i$ （ $0 \leq i \leq r-2$ ）之間僅差置換。此外 $M / M r - 1 = M / M' s - 1$ ，故定理成立。