同倫

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兩條路徑的同倫

在數學中,同倫的概念在拓撲上描述了兩個對象間的「連續變化」。

函數的同倫[编辑]

給定兩個拓撲空間 X \,\! et Y \,\!。考慮兩個連續函數 f , \, g \, : \, X \rightarrow Y \,\!,若存在一個連續映射 H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\! 使得

  • \forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!
  • \forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!

則稱f, \,g(在Y裡)同倫。

換言之:每個參數t對應到一個函數 h_t \, : \, X \rightarrow Y, \, x \mapsto H(x,t) \,\! ;隨著參數值t \,\!從 0 到 1 變化,H \,\! 連續地從 f \,\!變化到g \,\!

另一種觀點是:對每個x \in X \,\!,函數 H \,\! 定義一條連接 f(x) \,\!g(x) \,\!的路徑:

\gamma_x \, : \, [0,1] \rightarrow Y, \, t \mapsto H(x,t) \,\!

例一:取 X = \R \,\!, Y = \R \,\!, f(x) = 1 \,\!g(x) = -1 \,\!。則f \,\!g \,\! 透過下述函數在 Y \,\! 中同倫。

H(x,t) = 1 - 2t \,\!
(注意到此例子不依賴於變數 x,通常並非如此。)
:「在Y中同倫」的說法提示一個重點:在例一中若將Y = \R \,\! 代為子空間Y' = \R^* \,\!,則雖然f \,\!g \,\!仍取值在Y' \,\!,但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。

例二:取X = [0,1] \,\!Y = \mathbb{C} \,\!f(x) = e^{2i \pi x} \,\!g(x) = 0 \,\!. f \,\!描繪一個以原點為圓心之單位圓; g \,\!停在原點。f \,\!g \,\! 透過下述連續函數同倫:

H(x,t) = (1-t)e^{2i \pi x} \,\!
幾何上來看,對每個值t \,\!,函數h_t(x)=H(x,t) \,\!描繪一個以原點為圓心,半徑 1-t 的圓。

函數間的同倫是\mathcal{C}(X,Y) \,\!(即從 X 到 Y 全體連續函數的集合)上的等價關係。同倫的初步應用之一,是藉由環路的同倫定義何謂單連通

相對同倫[编辑]

為定義高階基本群,必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化,正式定義是:設f,g: X \rightarrow Y是連續函數,固定子空間 K \subset X;若存在前述同倫映射 H: X \times [0,1] \rightarrow Y,滿足:

  • H(x,0) = f(x), H(x,1) = g(x)
  • \forall k \in K \; H(k,t) = f(k) = g(k)

則稱 f, g 相對於 K 同倫。若取 K=\emptyset,則回到原先的同倫定義。

空間的同倫等價[编辑]

空間的連續變化:咖啡杯與甜甜圈

給定兩個拓撲空間E \,\!F \,\!,我們稱之同倫等價(或稱具相同倫型),当且仅当存在兩個連續映射f \, : \, E \rightarrow F \,\!g \, : \, F \rightarrow E \,\!,使得:

  • g \circ f \,\! 同倫到 E \,\! 的恆等映射 \mathrm{id}_E
  • f \circ g \,\! 同倫到 F \,\! 的恆等映射 \mathrm{id}_F

同胚蘊含同倫,反之則不然,詳見以下例子:

例三

  • 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到\mathbb{C}^* \,\!,即去掉一點的平面。
  • 線段[a,b] \,\!、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價,它們皆同倫等價於一個點。

同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變,包括有:單連通同調群上同調群等等。

同痕[编辑]

同痕是同倫的加細版;我們進一步要求所論的函數f \, : \, X \rightarrow Y \,\!g \, : \, X \rightarrow Y \,\!同胚,並要求兩者間可用一族同胚映射相連。

定義如次:f \,\!g \,\!被稱為同痕的,若且唯若存在連續映射H \, : \, X \times [0,1] \rightarrow Y \,\!使之滿足:

  • \forall x \in X, \, H(x,0) = f(x) \,\!
  • \forall x \in X, \, H(x,1) = g(x) \,\!
  • 對所有t \in [0,1] \,\!,映射h_t(x) = H(x,t) \,\!是個同胚映射。

同痕的概念在紐結理論中格外重要:若兩個結同痕,則我們視之相等;換言之,可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

參見[编辑]