同倫群

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

數學中,同倫群拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一,一般空間的同倫群極難計算,即使對球面 S^n 的情形,至今也沒有完整結果。

定義[编辑]

X 為拓撲空間而 S^nn球面。選定基點 a \in S^n, x \in X。定義 \pi_n(X,x)[S^n, X],也就是由保持基點的連續映射 f: S^n \to X同倫類構成的集合。為了方便起見,以緯垂坐標表示球面上的點,即:s_1 \wedge \cdots \wedge s_n 表示 (s_1, \ldots, s_n) \in [0,1]^n 在商映射 [0,1]^n \to [0,1]^n/\partial ([0,1]^n) \simeq S^n 下的像。取 S^n 的基點為 a = 0 \wedge \cdots \wedge 0


注意到當 n=0 時,S^0 = \{-1,1 \}\pi_0(X,x) 的元素一一對應到 X 的連通分支。

基本群的群運算

對於 n \geq 1\pi_n(X,x) 帶有自然的群結構:首先,我們構造一個連續映射:

s: S^n \to S^n \vee S^n

在此 S^n \vee S^n 定義為將兩份 S^n 沿基點黏合得到的拓撲空間。映射 s 定義為

s(x_1 \wedge \cdots \wedge x_n) = \begin{cases} x_1 \wedge \cdots \wedge x_{n-1} \wedge (1 - 2x_n), & x_n \leq \frac{1}{2} \\ x_1 \wedge \cdots \wedge x_{n-1} \wedge (2x_n - 1), & x_n \geq \frac{1}{2} \end{cases}

直觀來看,s 的效應相當於將球面 S^n 沿赤道掐扁。

給定 f,g : I^n \to X,我們定義 f * g := (f \sqcup g) \circ s,由於 f(a)=g(a)=x,此函數有完善的定義。此外也不難驗證 f * g 僅依賴於 f,g 的同倫類。

可以證明運算 f,g \mapsto f*g 滿足公理,其單位元素為常值映射 \forall s \in S^n, \; e(s) = x\pi_1(X,x) 不外就是基本群;而當 n \geq 2 時,\pi_n(X,x)阿貝爾群,稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。

若在定義中省掉基點,則得到的集合 [S^n, X] 等同於 \pi_n(X,x)\pi_1(X,x) 作用下的軌道集。可見若 \pi_1(X,x) \neq 0[S^n,X] 未必有自然的群結構。

纖維化導出長正合序列[编辑]

p: E \to B 為保基點的塞爾纖維化,纖維的同倫類定義為 F。此時可導出同倫群的長正合序列(以下略去基點):

 \cdots \to \pi_n(F) \to \pi_n(E) \to \pi_n(B) \to \pi_{n-1}(F) \to \cdots \to \pi_0(E) \to \pi(B) \to 1

儘管這裡的 \pi_0 只是個集合,而 \pi_1 未必是阿貝爾群,它們仍帶有特殊的元素(\pi_{n \geq 1} 的單位元、\pi_0 中包含基點的連通分支),可以用這些元素定義正合序列。

纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。

相對同倫群[编辑]

給定 A \subset X,可以定義相對同倫群 \pi_n(X,A) 為映射 f: (D^n, S^{n-1}) \to (X,x) 的同倫類,這意味著我們僅考慮滿足 f(S^{n-1}) = x 的連續映射,以及其間滿足相同限制的同倫。若取 A 為一點,便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。

文獻[编辑]