同倫群

在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 $S^n$ 的情形，至今也沒有完整結果。

定義

設 $X$ 為拓撲空間而 $S^n$ 為 $n$ 維球面。選定基點 $a \in S^n, x \in X$。定義 $\pi_n(X,x)$ 為 $[S^n, X]$，也就是由保持基點的連續映射 $f: S^n \to X$ 的同倫類構成的集合。為了方便起見，以緯垂坐標表示球面上的點，即：$s_1 \wedge \cdots \wedge s_n$ 表示 $(s_1, \ldots, s_n) \in [0,1]^n$ 在商映射 $[0,1]^n \to [0,1]^n/\partial ([0,1]^n) \simeq S^n$ 下的像。取 $S^n$ 的基點為 $a = 0 \wedge \cdots \wedge 0$。

注意到當 $n=0$ 時，$S^0 = \{-1,1 \}$ 而 $\pi_0(X,x)$ 的元素一一對應到 $X$ 的連通分支。

基本群的群運算

對於 $n \geq 1$，$\pi_n(X,x)$ 帶有自然的群結構：首先，我們構造一個連續映射：

$s: S^n \to S^n \vee S^n$

在此 $S^n \vee S^n$ 定義為將兩份 $S^n$ 沿基點黏合得到的拓撲空間。映射 $s$ 定義為

$s(x_1 \wedge \cdots \wedge x_n) = \begin{cases} x_1 \wedge \cdots \wedge x_{n-1} \wedge (1 - 2x_n), & x_n \leq \frac{1}{2} \\ x_1 \wedge \cdots \wedge x_{n-1} \wedge (2x_n - 1), & x_n \geq \frac{1}{2} \end{cases}$

直觀來看，$s$ 的效應相當於將球面 $S^n$ 沿赤道掐扁。

給定 $f,g : I^n \to X$，我們定義 $f * g := (f \sqcup g) \circ s$，由於 $f(a)=g(a)=x$，此函數有完善的定義。此外也不難驗證 $f * g$ 僅依賴於 $f,g$ 的同倫類。

可以證明運算 $f,g \mapsto f*g$ 滿足群公理，其單位元素為常值映射 $\forall s \in S^n, \; e(s) = x$。$\pi_1(X,x)$ 不外就是基本群；而當 $n \geq 2$ 時，$\pi_n(X,x)$ 是阿貝爾群，稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。

若在定義中省掉基點，則得到的集合 $[S^n, X]$ 等同於 $\pi_n(X,x)$ 在 $\pi_1(X,x)$ 作用下的軌道集。可見若 $\pi_1(X,x) \neq 0$，$[S^n,X]$ 未必有自然的群結構。

纖維化導出長正合序列

設 $p: E \to B$ 為保基點的塞爾纖維化，纖維的同倫類定義為 $F$。此時可導出同倫群的長正合序列（以下略去基點）：

$\cdots \to \pi_n(F) \to \pi_n(E) \to \pi_n(B) \to \pi_{n-1}(F) \to \cdots \to \pi_0(E) \to \pi(B) \to 1$

儘管這裡的 $\pi_0$ 只是個集合，而 $\pi_1$ 未必是阿貝爾群，它們仍帶有特殊的元素（$\pi_{n \geq 1}$ 的單位元、$\pi_0$ 中包含基點的連通分支），可以用這些元素定義正合序列。

纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。

相對同倫群

給定 $A \subset X$，可以定義相對同倫群 $\pi_n(X,A)$ 為映射 $f: (D^n, S^{n-1}) \to (X,x)$ 的同倫類，這意味著我們僅考慮滿足 $f(S^{n-1}) = x$ 的連續映射，以及其間滿足相同限制的同倫。若取 $A$ 為一點，便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。

文獻

• Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press. 2002, ISBN 978-0-521-79540-1