同构基本定理

同构基本定理或称同态基本定理，包含三个定理，在泛代数领域有广泛的应用。它们证明了一些自然同构的存在性。

历史

同构基本定理最早由埃米·诺特（Emmy Noether）在她于1927在德国数学期刊数学分析（Mathematische Annalen）发表的论文Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern中明确阐述。

群同态基本定理

我们首先叙述群论中的同态基本定理，他们的形式相对简单，却表达了商群的重要性质。定理的叙述中用到了关于正规子群的等价类概念。

群同态第一基本定理

叙述：如果f是群G到群H的一个群同态，则

• f的核(kernel)K是G的正规子群;
• 商群G/K群同构于f的像（image）;
• f的像是H的子群。

数学表达

$G, H$ 是群

$f: G \to H, f$是群同态

则

$\operatorname{Ker}(f) \triangleleft G$

$G/\operatorname{Ker}(f) \cong \operatorname{Im}(f)$

$\operatorname{Im}(f)$ 是$H$的子群。

群同态第二基本定理 （或称群同态第三基本定理）

叙述：如果H和K是群G的子群，H是K的正规化子的子群，则

• H与K的乘积HK是G的子群；
• K是HK的正规子群，H∩K是H的正规子群；
• HK/K同构于H/(H∩K)。

数学表达

$H,K$是$G$的子群

$H$是$\operatorname{N_G}(K)$的子群

则

$HK$是$G$的子群

$K \triangleleft HK$

$H \cap K \triangleleft H$

$HK/K \cong H/(H \cap K)$

群同态第三基本定理 （或称群同态第二基本定理）

叙述：如果M、N是G的正规子群，M属于N，那么

• M是N的正规子群;
• N/M是G/M的正规子群；
• (G/M)/(N/M)同构于G/N。

数学表达

$M,N \triangleleft G$

$M \subseteq N$

则

$M \triangleleft N$

$N/M \triangleleft G/M$

$(G/M)/(N/M) \cong G/N$

环和模上的形式

• 将定理中的“群”换为“R-模”，将“正规子群”换为“子模”，就得到对于确定的环R上的模的同构基本定理，（因此同构基本定理对于确定的域上的向量空间也成立）对于向量空间，同构第一基本定理即是秩-零化度定理。
• 将定理中的“群”换为“环”，“子群”换为“子环”，“正规子群”换为“理想”，“商群”换为“商环”就得到环的同构基本定理。
• 与子群的乘积HK相对应的定义是子模，子环，子空间的并，用H + K而不再用HK表示。具体的定义是：

$H+K=\left\{ a+b| a \in H,b \in K \right\}$

推广

在泛代数中，正规子群被推广为更广泛的共轭类的概念。

设A是一个代数结构，A的一个同余类是A上的一个等价关系$\Phi$，可看作是A × A上的子代数。等价类A/$\Phi$的集合在定义了适合的运算法则后，便可成为与A同类型的代数结构。

第一同构定理

设A和B是两个代数结构，f是A到B的态射，则A等价关系$\Phi$：a~b当且仅当f(a)=f(b) 是A上的一个同余类，并且A/$\Phi$同构于f的像（B的子代数）。

第二同构定理

设B是A的子代数，$\Phi$是A上的同余类。令[B]$\Phi$是所有包含B种元素的同余类的集合，它是A/$\Phi$的一个子集；$\Phi_B$是$\Phi$限制在 B × B上的部分。那么[B]$\Phi$是A/$\Phi$的子代数结构，$\Phi_B$是B上的同余类，并且[B]$\Phi$同构于B/$\Phi_B$。

第三同构定理

设A是一个代数结构，$\Phi$和$\Psi$是A上的两个同余关系，$\Psi$包含于$\Phi$。则$\Phi$定义了A/$\Psi$上的一个同余类$\Theta$：[a]~[b]当且仅当a与b关于 $\Phi$同余（[a]表示a所在的$\Psi$-等价类），并且A/$\Phi$同构于(A/$\Psi$)/$\Theta$。