同胚

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著有General Topology一書的數學家John L. Kelley曾說:拓扑学家是不知道甜甜圈和咖啡杯的分別的人。

拓扑学中,同胚是两个拓扑空间之间的双连续函数。同胚是拓扑空间范畴中的同构;也就是说,它们是保持给定空间的所有拓扑性质映射。如果两个空间之间存在同胚,那么这两个空间就称为同胚的,从拓扑学的观点来看,两个空间是相同的。

大致地说,拓扑空间是一个几何物体,同胚就是把物体连续延展和弯曲,使其成为一个新的物体。因此,正方形是同胚的,但球面环面就不是。有一个笑话是说,拓扑学家不能区分咖啡杯和甜甜圈,这是因为一个足够柔软的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形状(见图)。

定义[编辑]

两个拓扑空间{X,TX}和{Y,TY}之间的函数f : XY称为同胚,如果它具有下列性质:

满足以上三个性质的函数有时称为双连续自同胚就是从一个拓扑空间到它本身的同胚。同胚形成了所有拓扑空间的上的等价关系。所得到的等价类称为同胚类

例子[编辑]

三叶结与圆同胚。虽然这表面上不合理,但是在四维空间中很容易把三叶结连续变形成一个圆。
  • 任何二维球面去掉一个点都与R2中的所有点所组成的集合(二维平面)同胚。
  • A为一个有单位的交换环,并设SA的乘法子集。那么Spec (A_S) \{ p \in \textrm{Spec } A : p \cap S = \emptyset \} 同胚。
  • n\neq m时,\mathbb{R}^{n}不与\mathbb{R}^{m}同胚。
  • 一个连续和双射但不是同胚的函数的例子,是把半开区间[0,1)缠绕到圆上的映射。在这个情况中,逆映射虽然存在,但不是连续的。

性质[编辑]

  • 两个同胚的空间具有相同的拓扑性质。例如,如果其中一个是紧空间,那么另外一个也是紧空间;如果其中一个是连通空间,那么另外一个也是连通空间,等等。然而,这不能推广到通过度量所定义的性质;如果两个度量空间是同胚的,那么仍然有可能其中一个是完备的,而另外一个不是。
  • 每一个S^1的自同胚都可以延伸到整个圆盘D^2的自同胚。

参见[编辑]

外部链接[编辑]