同调

数学上（特别是代数拓扑和抽象代数）中，同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。

对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

同调群的构造

其过程如下：给定对象$X$，首先定义链复形，它包含了$X$的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模$A_0,A_1,A_2,\dots$的序列，群同态$d_n : A_n \rightarrow A_{n-1}$满足任何两个相连的同态的复合为0: $d_n \circ d_{n+1} = 0$对于所有n成立。着意味着第n+1个映射的像包含在第n个映射的核中，我们定义X的第n阶同调群为因子群（因子模）

$H_n(X) = \mathrm{ker}(d_n) / \mathrm{im}(d_{n+1}).$

链复形称为正合的，如果（n + 1）阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此$X$的同调群是$X$所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。

例子

导致引入这个概念的例子是代数拓扑：单纯复形$X$的单纯同调。$A_n$在这里就是$X$中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射，它将单纯形

$(a[0],a[1],\dots,a[n])$

映射为如下的和

$\sum_{i=0}^n (-1)^i(a[0],\dots,a[i-1],a[i+1],\dots,a[n]).$

如果我们将模取在一个域上，则$X$的n阶同调的维数就是$X$中n维的洞的个数。

仿照这个例子，可以定义任何拓扑空间$X$的奇异同调。我们定义$X$的上同调的链复形中的空间为$A_n$为自由可换群（或者自由模），其生成元为所有从n为单纯形到$X$的连续函数。同态$d_n$从单纯形的边界映射得到。

抽象代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子$F$和某个模$X$开始。$X$的链复形定义如下：首先找到一个自由模$F_1$和一个满同态$p_1 : F_1 \rightarrow X$。然后找到一个自由模$F_2$和一个满同态$p_2 : F_2 \rightarrow \mathrm{ker}(p_1)$。以该方式继续，得到一个自由模$F_n$和同态$p_n$的序列。将函子$F$应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调$H_n$仅依赖于$F$和$X$，并且按定义就是$F$作用于$X$的n阶导出函子。

同调函子

链复形构成一个范畴：从链复形$(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})$到链复形$(e_n : B_n \rightarrow B_{n-1})$的态射是一个同态的序列$f_n : A_n \rightarrow B_n$，满足$f_{n-1} \circ d_n = e_{n-1} \circ f_n$对于所有n成立。n阶同调 $H_n$可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。

若链复形以协变的方式依赖于对象$X$（也就是任何态射$X \rightarrow Y$诱导出一个从$X$的链复形到$Y$的链复形的态射），则$H_n$是从$X$所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于$X$，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为$H^n$）构成从$X$所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质

若$(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})$是链复形，满足出有限个$A_n$外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

$\chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(A_n)$

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调的层次上也可以计算:

$\chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(H_n)$

并且，特别是在代数拓扑中，这提供了两个计算产生链复形的对象$X$的重要的不变量$\chi$.

每个链复形的短正合序列

$0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$

导致一个同调群的长正合序列

$\cdots \rightarrow H_n(A) \rightarrow H_n(B) \rightarrow H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow H_{n-1}(B) \rightarrow H_{n-1}(C) \rightarrow H_{n-2}(A) \rightarrow \cdots \,$

所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出，除了映射$H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A)$之外。后者称为 连接同态，有蛇引理给出。

参看

• 奇异同调
• 上同调
• 同调论
• 同调代数