同调

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

数学上(特别是代数拓扑抽象代数),同调 (homology,在希腊语homos = 同)是一类将一个可换群或者序列和特定数学对象(例如拓扑空间或者)联系起来的过程。背景知识请参看同调论

对于一个特定的拓扑空间,同调群通常比同伦群要容易计算得多,因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

同调群的构造[编辑]

其过程如下:给定对象X,首先定义链复形,它包含了X的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模A_0,A_1,A_2,\dots的序列,群同态 d_n : A_n \rightarrow A_{n-1}满足任何两个相连的同态的复合为0:  d_n \circ d_{n+1} = 0 对于所有n成立。着意味着第n+1个映射的包含在第n个映射的中,我们定义X的第n阶同调群因子群(因子模)

 H_n(X) = \mathrm{ker}(d_n) / \mathrm{im}(d_{n+1}).

链复形称为正合的,如果(n + 1)阶映射的像总是等于n阶映射的核。因此X的同调群是X所关联的链复形和正合有“多远”的衡量。

例子[编辑]

导致引入这个概念的例子是代数拓扑单纯复形X单纯同调A_n在这里就是X中的n维可定向单纯形所生成的自由可换群或者模。这些映射称为边界映射,它将单纯形

 (a[0],a[1],\dots,a[n])

映射为如下的和

 \sum_{i=0}^n (-1)^i(a[0],\dots,a[i-1],a[i+1],\dots,a[n]).

如果我们将模取在一个域上,则Xn阶同调的维数就是Xn维的洞的个数。

仿照这个例子,可以定义任何拓扑空间X的奇异同调。我们定义X的上同调的链复形中的空间为A_n为自由可换群(或者自由模),其生成元为所有从n单纯形X连续函数。同态d_n从单纯形的边界映射得到。

抽象代数中,同调用于定义导出函子,例如,Tor函子。这里,我们可以从某个可加协变函子F和某个模X开始。X的链复形定义如下:首先找到一个自由模F_1和一个同态 p_1 : F_1 \rightarrow X 。然后找到一个自由模F_2和一个满同态 p_2 : F_2 \rightarrow \mathrm{ker}(p_1) 。以该方式继续,得到一个自由模F_n和同态p_n的序列。将函子F应用于这个序列,得到一个链复形;这个复形的同调H_n仅依赖于FX,并且按定义就是F作用于Xn阶导出函子。

同调函子[编辑]

链复形构成一个范畴:从链复形(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})到链复形(e_n : B_n \rightarrow B_{n-1})的态射是一个同态的序列 f_n : A_n \rightarrow B_n ,满足f_{n-1} \circ d_n = e_{n-1} \circ f_n 对于所有n成立。n阶同调 H_n可以视为一个从链复形的范畴到可换群(或者模)的范畴的协变函子

若链复形以协变的方式依赖于对象X(也就是任何态射 X \rightarrow Y 诱导出一个从X的链复形到Y的链复形的态射),则H_n是从X所属的范畴到可换群(或模)的范畴的函子

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于X,因此其同调群(在这个情况下称为上同调群并记为H^n)构成从X所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质[编辑]

(d_n : A_n \rightarrow A_{n-1})是链复形,满足出有限个A_n外所有项都是零,而非零的都是有限生成可换群(或者有限维向量空间),则可以定义欧拉示性数

 \chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(A_n)

(可换群采用而向量空间的情况采用哈默尔维数)。事实上在同调的层次上也可以计算:

 \chi = \sum (-1)^n \,\mathrm{rank}(H_n)

并且,特别是在代数拓扑中,这提供了两个计算产生链复形的对象X的重要的不变量\chi.

每个链复形的短正合序列

 0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0

导致一个同调群的长正合序列

 \cdots \rightarrow H_n(A) \rightarrow H_n(B) \rightarrow H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) \rightarrow H_{n-1}(B) \rightarrow H_{n-1}(C) \rightarrow H_{n-2}(A) \rightarrow \cdots \,

所有这个长正合序列中的映射由链复形间的映射导出,除了映射 H_n(C) \rightarrow H_{n-1}(A) 之外。后者称为 连接同态,有蛇引理给出。

参看[编辑]