同餘

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

数学上，當两个整数除以同一个正整数，若得相同余数，则二整数同余。同余理论常被用于数论中。最先引用同余的概念与「≡」符号者为德國数学家高斯。

同余符号

两个整数$a$，$b$，若它们除以正整数$m$所得的余数相等，则称$a$，$b$对于模$m$同余

记作$a \equiv b \pmod{m}$

读作$a$同余于$b$模$m$，或读作$a$与$b$关于模$m$同余。

比如$26 \equiv 14 \pmod{12}$。

同餘於的符號是同餘相等符號 ≡。統一碼值為 U+2261。但因為方便理由，人們有時會把它(誤)寫為普通等號 (=)。

性质

1. $a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow c\cdot m=a-b, c \in \mathbb{Z}$ (即是說 a 和 b 之差是 m 的倍數)
   換句話說，$a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow m \mid(a-b)$
2. 传递性$\left. \begin{matrix} a \equiv b \pmod{m} \\ b \equiv c \pmod{m} \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv c \pmod{m}$
3. 保持加法、减法和乘法$\left. \begin{matrix} a \equiv b \pmod{m} \\ c \equiv d\pmod{m} \end{matrix} \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{matrix} a \pm c \equiv b \pm d \pmod{m} \\ ac \equiv bd \pmod{m} \end{matrix} \right.$
   這性質更可進一步引申成為這樣:
   $a \equiv b \pmod{m} \Rightarrow \begin{cases} an \equiv bn \pmod{m}, \forall n \in \mathbb{Z} \\ a^n \equiv b^n \pmod{m}, \forall n \in \mathbb{N}^0 \end{cases}$
4. 除法原理$a \equiv b \pmod{cn} \Rightarrow a \equiv b \pmod n$
   $\left. \begin{matrix} a \equiv b \pmod{m} \\ n|m \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod n$
   $\left. \begin{matrix} ac \equiv bc \pmod{m} \\ (c, m) = 1 \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod m$
5. $\left. \begin{matrix} a \equiv b \pmod{m_1} \\ a \equiv b \pmod{m_2} \\ \vdots \\ a \equiv b \pmod{m_n} \\ (n \ge 2) \end{matrix} \right\} \Rightarrow a \equiv b \pmod{[m_1,m_2,\cdots,m_n]}$

舉例

• 求自然数a的个位数字，就是求a与哪一个数对于模10同余

一些重要定理证明的讲解
定理3 设a，b，c，d是整数，并且 a º b (mod m)，c º d (mod m) (1)则
(ⅰ) a + c º b + d (mod m)；
(ⅱ) ac º bd (mod m)。
证明 (ⅰ) 由式(1)及定义1可知
m½a - b，m½c - d，
因此
m½(a + c) - (b + d)，
此即结论(ⅰ)；
(ⅱ) 由式(1)及定理1可知，存在整数q1与q2使得
a = b + q1m，c = d + q2m，
因此
ac = bd + (q1q2m + q1d + q2b)m，
再利用定理1，推出结论(ⅱ)。证毕。
定理3（i）的证明知， 。联合（i）说明了同余与相等对于四则运算（除了除法之外）具有类似的性质。上面的性质，在同余运算中会被经常用到。
例：$10\equiv 1 (\textrm{mod }\ 3), 10^{n}\equiv 1 (\textrm{mod }\ 3), 10001\equiv 10^{4}+1\equiv 1+1 (\textrm{mod }\ 3)$。
反复利用定理3的（i）与（ii）可以把同余的以上性质推广到更一般情况
定理4 若

下面我们给出一些同余与相等不类似的性质
定理5 下面的结论成立：
(ⅰ) a º b (mod m)，d½m，d > 0 Þ a º b (mod d)；(m|a-bÞd|a-b).
(ⅱ) a º b (mod m)，a = a1d，b = b1d，(d, m)=1 Þ a1 º b1 (mod m)；(m|a-bÞm|(a1-b1) d) Þm|(a1-b1)).
(ⅲ) a º b (mod m)，k > 0，kÎN Þ ak º bk (mod mk)；
(ⅳ) a º b (mod m)，d 是a, b,m 的任一公因数Þ
(ⅴ) a º b (mod mi )，1 £ i £ k Þ a º b (mod [m1, m2, L, mk])；
a-b是mi 的倍数Þ a-b是mi最小公倍数的倍数（最小共倍数的本质）。
(Ⅵ) a º b (mod m) Þ (a, m) = (b, m)；a= mq +b
(Ⅶ) ac º bc (mod m)，(c, m) = 1 Þ a º b (mod m)。m |(a –b)c

外部链接

• 从整数的世界到余数的世界 —— A First Exploration into the Wonderful World of Numbers (by Guofang Xie)

参见

• 模除
• 二次剩余
• 原根
• 二次互反律
• 同余式
• 不定方程
• 中国剩余定理
• 費馬小定理
• 歐拉定理 (數論)
• 等價關係