同餘關係

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数学特别是抽象代数中,同餘关系或简称同餘是相容于某个代数运算的等价关系

模算术[编辑]

元型例子是模算术:对于一个正整数n,两个整数ab被称为同餘模n,如果a − b整除于n(还有一个等价的条件是它们除以n得出同样的餘数)。

例如,5和11同餘模3:

11 ≡ 5 (mod 3)

因为11 − 5得出6,它整除于3。或者等价的说,这两个数除以3得到相同的餘数:

11 = 3×3 + 2
5 = 1×3 + 2

如果a_1 \equiv b_1 \pmod n并且a_2 \equiv b_2 \pmod n,则a_1+a_2 \equiv b_1+b_2 \pmod n并且a_1a_2 \equiv b_1b_2 \pmod n。这把同餘(mod n)变成了在所有整数的环上的一个等价。

线性代数[编辑]

两个实数矩阵AB被称为合同的,如果存在可逆实数矩阵P使得

 P^\top A P = B

对称矩阵有实数特征值。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。Sylvester惯性定律声称两个对称实数矩阵是合同的,当且仅当它们有相同的惯性。所以,全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。

对于复数矩阵,必须区分“T合同”(ABT合同,如果有可逆矩阵P使得PTAP = B)和“*合同”(AB是*合同,如果有可逆矩阵P使得P*AP = B)。

泛代数[编辑]

想法是推广到泛代数中:代数A上的同餘关系是直积A×A子集,它既是在A上的等价关系又是A×A子代数

同态总是同餘。实际上,所有同餘引起自核。对于给定在A上的同餘~,等价类的集合A/~可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有A的元素到它的等价类的函数是同态,这个同态的核是~。

在一个代数上的所有同餘关系的代数格

群的同餘、正规子群和理想[编辑]

的特殊情况下,同餘关系可以用基本术语描述为:如果G是群(带有单位元e)并且~是在G上的二元关系,则~是同餘只要:

  1. 给定G任何元素aa ~ a自反关系)。
  2. 给定G任何的元素ab如果a ~ b,则b ~ a对称关系)。
  3. 给定G的任何元素a,bc,如果a ~ b 并且b ~ c,则a ~ c传递关系)。
  4. 给定G的任何元素a,a',bb' ,如果a ~ a' 并且b ~ b' ,则a * b ~ a' * b'
  5. 给定G的任何元素aa' ,如果a ~ a' ,则a−1 ~ a' −1(这个条件可以从其他四个条件证明,所以严格上是冗餘的)。

条件1, 2和3声称~是等价关系

同餘~完全确定自G的同餘于单位元的那些元素的集合{aG : a ~ e},而这个集合是正规子群。特别是,a ~ b当且仅当b−1 * a ~ e。所以替代谈论在群上同餘,人们通常以正规子群的方式谈论它们;事实上,所有同餘都唯一的对应于G的某个正规子群。

环理想和一般情况的核[编辑]

类似的技巧允许谈论环中的核为理想来替代同餘关系,在模理论中为子模来替代同餘关系。

这个技巧不适用于幺半群,所以同餘关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。

参见[编辑]

引用[编辑]

  • Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.(Section 4.5 discusses congruency of matrices.)