同餘關係

在数学特别是抽象代数中，同餘关系或简称同餘是相容于某个代数运算的等价关系。

模算术

元型例子是模算术: 对于一个正整数 n，两个整数 a 和 b 被称为同餘模 n，如果 a − b 整除于 n (还有一个等价的条件是它们除以 n 得出同样的餘数)。

例如，5 和 11 同餘模 3:

11 ≡ 5 (mod 3)

因为 11 − 5 得出 6，它整除于 3。或者等价的说，这两个数除以 3 得到相同的餘数:

11 = 3×3 + 2

5 = 1×3 + 2

如果 $a_1 \equiv b_1 \pmod n$ 并且 $a_2 \equiv b_2 \pmod n$，则 $a_1+a_2 \equiv b_1+b_2 \pmod n$ 并且 $a_1a_2 \equiv b_1b_2 \pmod n$。这把同餘(mod n)变成了在所有整数的环上的一个等价。

线性代数

两个实数矩阵 A 和 B 被称为合同的，如果存在可逆实数矩阵 P 使得

$P^\top A P = B$。

对称矩阵有实数特征值。对称矩阵的“惯性”是由正特征值的数目、零特征值的数目和负特征值的数目组成的三元组。Sylvester惯性定律声称两个对称实数矩阵是合同的，当且仅当它们有相同的惯性。所以，全等变换可以改变矩阵的特征值但不能改变特征值的符号。

对于复数矩阵，必须区分“^T合同” (A 和 B 是^T合同，如果有可逆矩阵 P 使得 P^TAP = B) 和“*合同” (A 和 B 是*合同，如果有可逆矩阵 P 使得 P*AP = B)。

泛代数

想法是推广到泛代数中: 代数 A 上的同餘关系是直积 A × A 的子集，它既是在 A 上的等价关系又是 A × A 的子代数。

同态的核总是同餘。实际上，所有同餘引起自核。对于给定在 A 上的同餘 ~，等价类的集合 A/~ 可以自然的方式给出自代数的结构商代数。映射所有 A 的元素到它的等价类的函数是同态，这个同态的核是 ~。

在一个代数上的所有同餘关系的格是代数格。

群的同餘、正规子群和理想

在群的特殊情况下，同餘关系可以用基本术语描述为: 如果 G 是群(带有单位元 e)并且 ~ 是在 G 上的二元关系，则 ~ 是同餘只要:

1. 给定 G 的任何元素 a，a ~ a (自反关系)。
2. 给定 G 任何的元素 a 和 b，如果 a ~ b，则 b ~ a (对称关系)。
3. 给定 G 的任何元素 a, b 和 c，如果 a ~ b 并且 b ~ c，则 a ~ c (传递关系)。
4. 给定 G 的任何元素 a, a' , b 和 b' ，如果 a ~ a' 并且 b ~ b' ， 则 a * b ~ a' * b' 。
5. 给定 G 的任何元素 a 和 a' ，如果 a ~ a' ，则 a⁻¹ ~ a' ⁻¹ (这个条件可以从其他四个条件证明，所以严格上是冗餘的)。

条件 1, 2 和 3 声称 ~ 是等价关系。

同餘 ~ 完全确定自 G 的同餘于单位元的那些元素的集合 {a ∈ G : a ~ e}，而这个集合是正规子群。特别是，a ~ b 当且仅当 b⁻¹ * a ~ e。所以替代谈论在群上同餘，人们通常以正规子群的方式谈论它们；事实上，所有同餘都唯一的对应于 G 的某个正规子群。

环理想和一般情况的核

类似的技巧允许谈论环中的核为理想来替代同餘关系，在模理论中为子模来替代同餘关系。

这个技巧不适用于幺半群，所以同餘关系的研究在幺半群理论扮演更中心的角色。

参见

• 模

引用

• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (Section 4.5 discusses congruency of matrices.)