后继序数

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定义序数时, 它有一个基本的运算是后继运算 S 来得到下一个更高的序数. 如果使用冯·诺伊曼序数(用于集合论的标准序数)表示,对于任何一个序数我们可以得到,

S(\alpha) = \alpha \cup \{\alpha\}.

因为在序数上的排序 α < β 当且仅当 \alpha \in \beta,立即得出没有序数在 α 和 S(α) 之间,而 α < S(α) 也是明显的。是某个序数 β 的 S(β) 的序数叫做后继序数。不是其它哪个序数的后继的序数,我们把它们叫做极限序数. 严格地按照超限归纳法,我们可以用这样的运算定义序数如下:

\alpha + 0 = \alpha \
\alpha + S(\beta) = S(\alpha + \beta) \

对于极限序数 λ

\alpha + \lambda = \bigcup_{\beta < \lambda} (\alpha + \beta)

特殊情况, S(α) = α + 1. 乘法和求幂定义也是同样的.参见极限序数.