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向量丛

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数学上,向量丛是一个几何构造,為拓扑空间(或流形,或代数簇)的每一点相容地附上一个向量空间,而这些向量空间“粘起来”又构成一个拓扑空间(或流形,或代数簇)。 一个典型的例子是微分流形Differentiable manifold)的切丛:对流形的每一点附上流形在该点的切空间。 另一个例子是法丛:給定一个平面上的光滑曲线,可在曲线的每一点附上和曲线垂直的直线;这就是曲线的"法丛"。

这个条目主要解釋有限维纤维的向量丛。向量丛也在很多地方有用;他们可以视为一種有附加结构的实向量丛。

向量丛是纤维丛的一種。

定义和直接的结果[编辑]

一个实向量丛又以下数据给出:

  • 一个拓扑空间X("基空间")和E("全空间")
  • 一个连续映射π : EX("投影")
  • X中的每个x,纤维上的向量空间π−1({x})满足以下相容性条件:对X中的一点有一个开邻域U,一个自然数n,和一个同胚φ : U × Rn → π−1(U)使得对U中的每点x:
    • πφ(x,v) = x 对所有Rn中的v成立
    • 映射v |-> φ(x,v)导出一个向量空间Rn和π−1({x})的同构.

开邻域U和同胚φ合起来叫做丛的局部平凡化。这表示映射π在局部看起来像U × RnU上的投影.

向量丛称为平凡,如果有一个整体平凡化,也就是如果它看起来像X × RnX.

每个向量丛π : EX满射,因为向量空间不能为空集

每个纤维π−1({x})是一个有限维实向量空间,所以有一个维数dx.函数x |-> dx局部常数,也就是它在所有X连通分支上常数。如果它在X上是全局常数的话,我们把这个维数叫做向量丛的。一阶向量丛也叫线丛

向量丛态射[编辑]

一个从向量丛π1 : E1X1到向量丛π2 : E2X2态射(morphism)是一对连续映射f : E1E2g : X1X2使得

  • gπ1 = π2f
BundleMorphism-01.png
  • 对于每个X1中的x,由f诱导的映射π1−1({x}) → π2−1({g(x)})是一个向量空间的线性变换

所有向量丛的类和丛的射组成了一个范畴。限制到光滑流形和光滑丛射,我们就有了光滑向量丛的范畴。

我们可以考虑有一个固定基空间X的所有向量丛组成的范畴。我们取那些在基空间X上为恒等映射(identity map)的射作为在这个范畴中的射. 也就是说,丛射满足下面的交换图

BundleMorphism-02.png

(注意这个范畴不是可交换的;向量丛的射的通常不能很自然的成为一个向量丛。)

截面和局部自由层[编辑]

给定一个向量丛π : EX和一个开子集U,我们可以考虑π在U上的截面,也就是连续函数s : UE满足πs = idU.本质上,截面给U的每一点一个从附在该点的向量空间中所取的向量,取值要有连续性。

例如,微分流形的切丛的截面就是流形上的向量场。

F(U)为U上所有截面的集合. F(U)总有至少一个元素:把V中的x映射到π−1({x})的零元素的函数s.使用每点的加法和数乘,F(U)本身也成为了向量空间.这些向量空间的总和就是X上的向量空间的

s属于F(U)而α : UR是一连续映射,则αs属于F(U).我们可以看到F(U)是一个U上的连续实值函数的环上的.进一步讲,若OX表示X上连续函数的层结构,则F是OX-模的一个层.

不是OX-模的每个层都是以这种方式从向量丛的导的:只有局部自由层可以从这种方法得到。(理由:局部的,我们要找一个投影U × RnU的一个截面,这些恰好是连续函数URn,并且这一函数是连续函数URn-元组.)

更进一步讲:X上的实向量丛的范畴是等价于OX-模的局部自由和有限生成的层的。

所以我们可以将向量丛视为位于OX-模的层的范畴内;而后者是可交换的,所以我们可以计算向量丛的射的核。

向量丛上的操作[编辑]

两个X上的在同一个域上的向量丛,有一个惠特尼和,在每点的纤维为那两个丛的纤维的直积。同样,纤维向量积对偶空间丛也可以这样引入。

变种和推广[编辑]

向量丛是纤维丛的特例。

光滑向量丛定义为满足EX光滑流形,π : EX是光滑映射,而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量丛。

把实向量空间换成的,就得到了复向量丛。这是结构群的约化的特例。也可以用其他拓扑域上的向量空间,但相对比较少见。

如果我们允许在局部平凡化中使用任意巴拿赫空间(而不仅是Rn),就可以得到巴拿赫丛.

参考[编辑]

  • Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.