向量积

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线性代数
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}
向量 · 矩阵  · 行列式  · 线性空间

叉乘是一种在向量空间向量二元运算。与点乘不同,它的运算结果是一个偽向量而不是一个标量。叉乘的运算结果叫叉积(即交叉乘积)、外积向量积。叉积与原来的两个向量都垂直

定义[编辑]

在右手坐标系中的向量积

两个向量\vec{a}\vec{b}的叉积写作\vec{a}×\vec{b}(有时也被写成\vec{a}\vec{b},避免和字母x混淆)。叉积可以定义为:

\vec{a} \times \vec{b} = \left |a  \right | \left |b  \right | \sin \theta \ \vec{n}

在这里θ表示\vec{a}\vec{b}之间的角度(0°≤θ≤180°),它位于这两个矢量所定义的平面上。而\vec{n}是一个与\vec{a}\vec{b}所构成的平面垂直单位矢量

这个定义有个问题,就是同时有两个单位向量都垂直于\vec{a}\vec{b}:若\vec{n}满足垂直的条件,那么-\vec{n}也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定,即按照给定直角坐标系(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})的左右手定则。若 (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})满足右手定则,则 (\vec{a}, \vec{b}, \vec{a}×\vec{b})也满足右手定则;或者两者同时满足左手定则

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,\vec{c} = \vec{a}\times\vec{b}当右手的四指从\vec{a}以不超过180度的转角转向\vec{b}时,竖起的大拇指指向是\vec{c}的方向。由于向量的叉积由坐标系确定,所以其结果被称为伪向量

性质[编辑]

几何意义[编辑]

叉积的(长度) \left |\vec{a} \times \vec{b}  \right | 可以解释成以\vec{a}\vec{b}为边的平行四边形面积。进一步就是说,混合积可以得到以\vec{a}\vec{b}\vec{c}为边的平行六面体体积

代数性质[编辑]

\vec{a}\times\vec{b}= - \vec{b}\times\vec{a}
\vec{a} × (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} × \vec{b} + \vec{a} × \vec{c}
  • 与标量乘法兼容:
(r\vec{a}) × \vec{b} = \vec{a} × (r\vec{b}) = r(\vec{a} × \vec{b})
\vec{a} × (\vec{b} × \vec{c}) + \vec{b} × (\vec{c} × \vec{a}) + \vec{c} × (\vec{a} × \vec{b}) = 0

分配律,线性性和雅可比恒等式别表明:具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数

拉格朗日公式[编辑]

  • 这是一个著名的公式,而且非常有用:
\vec{a} × (\vec{b} × \vec{c}) = \vec{b}\vec{a}·\vec{c})- \vec{c}\vec{a}·\vec{b}),

可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是,这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形:

 \begin{matrix}
 \nabla \times (\nabla \times \vec{f})
&=& \nabla      (\nabla \cdot  \vec{f} )
 - (\nabla \cdot \nabla) \vec{f}  \\
&=& \mbox{grad }(\mbox{div }   \vec{f} )
 - \mbox{laplacian }     \vec{f}.
\end{matrix}

这是一个霍奇拉普拉斯算子霍奇分解\Delta = d \partial + \partial d的特殊情形。

  • 另一个有用的拉格朗日恒等式是:
 |a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2

这是一个在四元数代数中范数乘法|vw| = |v| |w|的特殊情形。

矩阵形式[编辑]

给定直角坐标系的单位向量\vec{i}\vec{j}\vec{k}满足下列等式:

\vec{i}\times\vec{j} =\vec{k}\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}

通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设

\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}
\vec{b} = b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}

\begin{align}
\vec{a} \times \vec{b}  & = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i}+(a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j}+(a_1b_2 - a_2b_1)\vec{k}\\ 
 &= \det \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
\end{align}

det为行列式

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述\vec{i}\vec{j}\vec{k}之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量[a1, a2, a3]表示成四元数a1i + a2j + a3k,两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转

高维情形[编辑]

七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质:

\vec{x} × (a\vec{y} + b\vec{z}) = a\vec{x} × \vec{y} + b\vec{x} × \vec{z}
(a\vec{y} + b\vec{z}) × \vec{x} = a\vec{y} × \vec{x} + b\vec{z} × \vec{x}.
  • 反交换律:
\vec{x} × \vec{y} + \vec{y} × \vec{x} = 0
  • 同时与\vec{x}\vec{y}垂直:
\vec{x}· (\vec{x} × \vec{y}) = \vec{y}· (\vec{x} × \vec{y}) = 0
  • 拉格朗日恒等式
|\vec{x} × \vec{y}|2 = |\vec{x}|2 |\vec{y}|2 - (\vec{x}·\vec{y})2.
  • 不同于三维情形,它并不满足雅可比恒等式:
\vec{x} × (\vec{y} × \vec{z}) + \vec{y} × (\vec{z} × \vec{x}) + \vec{z} × (\vec{x} × \vec{y}) ≠ 0

应用[编辑]

另外,在物理学力学电磁学光学计算机图形学等理工学科中,叉积应用十分广泛。例如力矩角动量洛伦兹力等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时,往往可以借助右手定则辅助判断方向。

参见[编辑]