向量积

线性代数

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

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向量积，也被称为叉积（即交叉乘积）、外积，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个伪向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量都垂直。

定义

在右手坐标系中的向量积

两个向量a和b的叉积写作a×b（有时也被写成a∧b，避免和字母x混淆）。叉积可以定义为：

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{n}$

在这里θ表示a和b之间的角度（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。而n是一个与a、b所在平面均垂直的单位矢量。

这个定义有个问题，就是同时有两个单位向量都垂直于a和b：若n满足垂直的条件，那么-n也满足。

“正确”的向量由向量空间的方向确定，即按照给定直角坐标系(i, j, k)的左右手定则。若 (i, j, k)满足右手定则，则 (a, b, a×b)也满足右手定则；或者两者同时满足左手定则。

一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，$\mathbf{c} = \mathbf{a}\times\mathbf{b}$当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。由于向量的叉积由坐标系确定，所以其结果被称为伪向量。

性质

几何意义

叉积的长度 |a × b| 可以解释成以a和b为边的平行四边形的面积。进一步就是说，三重积可以得到以a，b，c为边的平行六面体的体积。

代数性质

• 反交换律：

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{-b}\times\mathbf{a}$

• 加法的分配律：

a × (b + c) = a × b + a × c

• 与标量乘法兼容：

(ra) × b = a × (rb) = r(a × b)

• 不满足结合律，但满足雅可比恒等式：

a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0

分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R³构成了一个李代数。

• 两个非零向量a和b平行，当且仅当a × b = 0

拉格朗日公式

• 这是一个著名的公式，而且非常有用：

a × (b × c) = b（a·c）− c（a·b）,

可以简单地记成“BAC - CAB”。这个公式在物理上简化向量运算非常有效。需要注意的是，这个公式对微分算子不成立。

这里给出一个和梯度相关的一个情形：

$\begin{matrix} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{f}) &=& \nabla (\nabla \cdot \mathbf{f} ) - (\nabla \cdot \nabla) \mathbf{f} \\ &=& \mbox{grad }(\mbox{div } \mathbf{f} ) - \mbox{laplacian } \mathbf{f}. \end{matrix}$

这是一个霍奇拉普拉斯算子的霍奇分解$\Delta = d \partial + \partial d$的特殊情形。

• 另一个有用的拉格朗日恒等式是：

$|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = |a|^2 |b|^2$。

这是一个在四元数代数中范数乘法$|vw| = |v| |w|$的特殊情形。

矩阵形式

给定直角坐标系的单位向量i，j，k满足下列等式：

i × j = k           j × k = i           k × i = j

通过这些规则，两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来，不需要考虑任何角度：设

a = a₁i + a₂j + a₃k = [a₁, a₂, a₃]

b = b₁i + b₂j + b₃k = [b₁, b₂, b₃]

则

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁]

上述等式可以写成矩阵的行列式的形式：

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{bmatrix}$

叉积也可以用四元数来表示。注意到上述i，j，k之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言，若将向量[a₁, a₂, a₃]表示成四元数a₁i + a₂j + a₃k，两个向量的叉积可以这样计算：计算两个四元数的乘积得到一个四元数，并将这个四元数的实部去掉，即为结果。更多关于四元数乘法，向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。

高维情形

七维向量的叉积可以通过八元数得到，与上述的四元数方法相同。

七维叉积具有与三维叉积相似的性质：

• 双线性性：

x × (ay + bz) = ax × y + bx × z

(ay + bz) × x = ay × x + bz × x.

• 反交换律：

x × y + y × x = 0

• 同时与x和y垂直：

x· (x × y) = y· (x × y) = 0

• 拉格朗日恒等式

|x × y|² = |x|² |y|² − (x·y)².

• 不同于三维情形，它并不满足雅可比恒等式：

x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x × y) ≠ 0

应用

另外，在物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中中，叉积应用十分广泛。例如力矩、角动量、洛伦兹力等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时，往往可以借助右手定则辅助判断方向。

参见

• 数量积
• 右手定则
• 外代数：叉乘的实质，赝矢量与赝标量