向量自回归模型

向量自回归模型（简称VAR模型）是一种常用的计量经济模型，由克里斯托弗·西姆斯（Christopher Sims）提出。它是AR模型的推广。

定义

VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量（内生变量）可以作为它们过去值的线性函数。

一个VAR(p)模型可以写成为：

$y_{t}=c + A_{1}y_{t-1} + A_{2}y_{t-2} + \cdots + A_{p}y_{t-p} + e_{t},$

其中：c是n × 1常数向量，A_i是n × n矩阵。e_t是n × 1误差向量，满足：

1. $\mathrm{E}(e_{t}) = 0\,$ —误差项的均值为0
2. $\mathrm{E}(e_{t}e_{t}') = \Omega\,$ —误差项的协方差矩阵为Ω（一个n × 'n正定矩阵）
3. $\mathrm{E}(e_{t}e_{t-k}') = 0\,$ （对于所有不为0的k都满足）—误差项不存在自相关

例子

一个有两个变量的VAR(1)模型可以表示为：

$\begin{bmatrix}y_{1,t} \\ y_{2,t}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{1,2} \\ A_{2,1}&A_{2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{1,t} \\ e_{2,t}\end{bmatrix},$

或者也可以写为以下的方程组：

$y_{1,t} = c_{1} + A_{1,1}y_{1,t-1} + A_{1,2}y_{2,t-1} + e_{1,t}\,$

$y_{2,t} = c_{2} + A_{2,1}y_{1,t-1} + A_{2,2}y_{2,t-1} + e_{2,t}.\,$

转换VAR(p)为VAR(1)

VAR(p)模型常常可以被改写为VAR(1)模型。 比如VAR(2)模型：

$y_{t}=c + A_{1}y_{t-1} + A_{2}y_{t-2} + e_{t}$

可以转换成一个VAR(1)模型：

$\begin{bmatrix}y_{t} \\ y_{t-1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A_{1}&A_{2} \\ I&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{t} \\ 0\end{bmatrix},$

其中I是单位矩阵。

结构与简化形式

结构向量自回归

一个结构向量自回归（Structural VAR）模型可以写成为：

$B_{0}y_{t}=c_{0} + B_{1}y_{t-1} + B_{2}y_{t-2} + \cdots + B_{p}y_{t-p} + \epsilon_{t},$

其中：c₀是n × 1常数向量，B_i是n × n矩阵，ε_t是n × 1误差向量。

一个有两个变量的结构VAR(1)可以表示为：

$\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2} \\ B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t} \\ y_{2,t}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{0;1} \\ c_{0;2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2} \\ B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\epsilon_{1,t} \\ \epsilon_{2,t}\end{bmatrix},$

其中：

$\Sigma = \mathrm{E}(\epsilon_{t}\epsilon_{t}') = \begin{bmatrix}\sigma_{1}&0 \\ 0&\sigma_{2}\end{bmatrix};$

简化向量自回归

把结构向量自回归与B₀的逆矩阵相乘：

$y_{t} = B_{0}^{-1}c_{0} + B_{0}^{-1}B_{1}y_{t-1} + B_{0}^{-1}B_{2}y_{t-2} + \cdots + B_{0}^{-1}B_{p}y_{t-p} + B_{0}^{-1}\epsilon_{t},$

让：

$B_{0}^{-1}c_{0} = c,$ $B_{0}^{-1}B_{i} = A_{i}$ 对于 $i = 1, \cdots, p\,$ 和 $B_{0}^{-1}\epsilon_{t} = e_{t}$

我们得到p-阶简化向量自回归（Reduced VAR）：

$y_{t}=c + A_{1}y_{t-1} + A_{2}y_{t-2} + \cdots + A_{p}y_{t-p} + e_{t}$