周期点

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数学中,特别是在迭代函数动态系统领域,周期点是指被多次迭代后又映射到自身的点。这里的迭代次数叫做周期。周期为1的周期点被称为不动点

迭代函数[编辑]

f集合X上的自同态函数

f: X \to X

若存在n,使得

\ f^n(x) = x

x是周期为n周期点。这里,\ f^nfn迭代。使得上式成立的最小正整数被称为最小周期

p是函数f(x)的以n为周期的周期点,若

|(f^n)^\prime|\ne 1

p双曲周期点。若

|(f^n)^\prime|< 1

则称周期点p为吸引子;若

|(f^n)^\prime|> 1

则称周期点p为排斥子

若该周期点的稳定流形维数为0,则称其为源点;若不稳定流形的维数为0,则称其为汇点;若稳定流形和不稳定流形的维数均不为0,则称其为鞍点

动态系统[编辑]

给定一个连续时间动态系统 (\mathbb{R}, X, \Phi),其中X相空间 \Phi状态转移函数

\Phi: \mathbb{R} \times X \to X

若存在t>=0x\in X,使得

\Phi(t, x) = x\,

x被称为以t为周期的周期点,使上式成立的最小正数t被称为最小周期

性质[编辑]

x是以t为周期的周期点,则对于任意实数s\Phi(s, x) = \Phi(s + t, x)\,都成立。 设轨迹\gamma_x经过周期点x,则该轨迹上的所有点均为周期点,且最小周期与x的最小周期相等。

参见[编辑]