周環

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代數幾何中,代數簇周環(得名於周煒良)是簇作為拓撲空間的上同調環的替代品:子簇(所謂代數圈)構成了它的元素,而其乘法結構來自子簇的相交。事實上,兩環間有一自然映射,它保持了二者都有的幾何概念(例如陳類、相交配對以及龐加萊對偶)。周環的優勢在於其幾何定義不需使用非代數概念。並且,使用了純拓撲情況下不可用的代數工具後,某些兩環都有的構造在周環中更簡單。

有理等價[编辑]

定義周環前,我們需先定義“有理等價”。如名字所暗示,它是一個等價關係。假定X是一代數簇,Y、Z是其子簇,若存在一包含於積族P1×X中,且以P1參數化的平坦族,使得Y和Z是它的兩個纖維,我們就稱Y和Z有理等價。用古典語言來說,我們想要一個積族的子簇,Y和Z是其兩纖維,且其所有纖維有相同的希爾伯特多項式。若我們將P1當作一條線,則此概念就是配邊的代數模擬。

周環的定義[编辑]

有理等價的定義隱含了有理等價的兩子簇維數相同。為了構造周環,我們將採用余維數(X本身與子簇的維數差),這樣乘積才運行良好。對滿足0 \leq k \leq \dim{X}的整數k,我們定義群Ak(X)為余維數k的子簇的形式和,再模掉有理等價。 周環自身是它們的直和,即:

A^*(X) = \bigoplus_{k = 0}^{\dim{X}} A^k(X)

環的結構以簇的相交給出:如果兩個等價類[Y][Z]分別在Ak(X)和Al(X)中,我們定義它們的積為

[Y] \cdot [Z] = [Y \cap Z]

此定義有一系列技術細節,我們將在下面討論。可以肯定地說,在最好的情形(在有理等價下總成立),此交有余維數k + l,因而在Ak + l(X)中。這使得周環成為分次環。周環的元素常被稱為“圈”

幾何解釋[编辑]

周環的幾何內涵混合了有理等價和相交積,這使得似乎形式的數字系數得以被解釋為子簇的度。例如,射影空間Pn的周環是

A^*(\mathbb{P}^n) = \mathbb{Z}[\omega]/(\omega^{n + 1})

\omega是超平面(單個線性函數的零點軌跡)的有理等價類。更進一步,任何度為d而余維數為k的子簇都有理等價於d \omega^k。這意味著,如果有兩個子簇有互補的維數(它們維數和為n)且度數分別為d、e,則它們的積就是

[Y] \cdot [Z] = de \; \omega^n

\omega^n是單點的等價類。至少在YZ橫截相交時(參見此處),這說明它們恰有de個交點。這實則是貝祖定理。類似於此的觀察被極大地推廣,產生了計數幾何

函子性[编辑]

圈的函子性,即定義在代數圈群Z*(X)層面上的平坦拉回和適當前推可擴展至周環,這給出群同態

f^* \colon A^k(X') \to A^k(X) \,\!f_* \colon A_k(X) \to A_k(X') \,\!

事實上,f^*給出在整個周環上的環同態(遵從相交積,至少在集合論層面上這是顯然的),但f_*不行(因為集合論層面上它就不行:我們並不總有f_*)。但是我們有所謂“投影公式”:對X的子簇YX′的子簇Y′

f_*([Y] \cdot f^*([Y'])) = f_*([Y]) \cdot [Y']

上同調聯繫[编辑]

周環非常像X上的整值上同調。事實上,有顯然的映射

f \colon A^*(X) \to H^{2*}(X)\,\!

(以上記號代表在偶維數生成的上同調環)。它將每個有理等價類[Y]先送到由閉子簇Y決定的同調類,再送到它的龐加萊對偶(這解釋了偶維數:複代數簇總有偶實維數,因此決定了偶維數的同調類)。可以證明,同一個有理等價類被送到同一個上同調類。更進一步,龐加萊對偶性的一部分說明同調類的相交積對應於上同調類的杯積,因此這映射是環同態。

有不少事實對周環和上同調環有完全相同的形式。例如推拉公式在同調和上同調中都成立。進一步,一基本結果聲稱,Pn的上同調環和以上給出的周環是一樣的,乃至\omega的解釋都一樣(這說明,對射影空間,實際上上一段定義的映射\omega是同構)。但是對此結果,上同調證明技巧性頗高。相反,對周環我們給出一個相當簡單的幾何證明:

首先,設H為一超平面,從而同構於Pn − 1。任何另外的超平面J有理等價與它,因為若它們分別由線性形式LM定義,我們可以把它們當成Pn中的點(通過其系數),由此可得它們間唯一的線。線上的點都是線性形式,從而定義了一族超平面,且由構造HJ皆在其中。H \cap JH中的超平面,且由定義它的等價類為\omega^2。這樣我們便有一族超平面,其中每個都嵌在前一個中,依次同構與對應的射影空間且等價於\omega的冪。

鑒於這些發現,我們考察任意余維數k度數d的子簇。如果k=0,那麼Y必須等於Pn本身,因為射影空間不可約。如果k不是0,不妨假定H由令最後一個座標為0定義,且P = [0 : \dots : 0 : 1]不在Y中。對每個P1中不是[0 : 1]的點t = [t_0 : t_1],定義映射

 f_t \colon \mathbb{P}^n \setminus \{P\} \to \mathbb{P}^n \setminus \{P\}, f_t([a_0 : \dots : a_{n - 1}: a_n]) = [t_0 a_0 : \dots : t_0 a_{n - 1} : t_1 a_n]

Y在這些映射下的像形成了一個在P1除去一點上的簇族。我們在 P1 × Pn中取閉包來得到Y的有理等價(這是一個等價關係得自一個非平凡但標準的事實:取閉包對應於取“平坦極限”)。如此,無窮遠點處的纖維就是Y到超平面H上的投影,因此有與Y相同的度和維數。因為H本身就是射影空間,我們可重複此過程直到Y維數過大不能繼續。由此可得Y有理等價與d \omega^k,而且我們已經找到了積結構。

一個類似的證明建立此定理的推廣,在上同調中以勒雷-赫希定理聞名。它用對應纖維叢的陳類底空間的周環計算了射影空間叢的周環。上同調的證明則要用到譜序列

某些事實在周環中不成立,但在上同調環中成立。尤其是Künneth公式不成立,儘管勒雷-赫希定理對射影空間的積重建了它。進一步,儘管周環在簇上有逆變函子性,但在代數拓撲的意義下它構不成上同調理論,因為沒有“相對周群”的概念。的確,在代數簇中,沒有邊界的概念,因此正面考慮替代品是無望的。

構造的細節[编辑]

上面所給Ak(X)的構造需要一些關於“模掉有理等價”的說明。相關的技術細節是,就像在計算射影空間周環時一樣,有時兩個並非簇對應的圈有理等價,儘管有理等價似乎僅僅與集合結構有關。解法是由概形理論而來,即一個由理想定義的子簇可以被認為有重數d如果我們代理想II^d。這樣有理等價的古典陳述便不夠了,且我們必須密切關注平坦族的細節。最後,等價類的形式和,例如aY + bZ,應該被認為是“有度的簇”aYbZ的不交並,一旦建立了這些約定,我們就可借有理等價為圈的自由阿貝爾群上的等價關係來得到周環。

相交積的定義有點更加複雜。主要問題是在相交中保持正確的維數。如果YZ是兩個余維數為kl的子簇,它們的交並非總有余維數k+l。就如平凡的例子,兩簇可能完全相同。為了克服此難處,我們可以證明“移動引理”。它斷定在任何兩個有理等價類中,我們總可以找到一般橫截的兩代表元,此時它們的交表現良好。子簇的橫截性定義類似於流形的:先定義子簇的紮利斯基切空間,它們自然是X的切空間的子空間。如果這些子空間張成X的切空間,那麼此交是橫截的。如果橫截性在它的一個稠密子集上成立,那麼它是一般橫截的。

某種意義上,對於可對上同調環證明的事實,聲稱周環可給出更簡單的證明有些狡猾。特別是概形論的構造、平坦族和平坦極限,以及移動引理都解決了大量隱藏於周環下的技術困難。但是,這些技術細節大都是理論的基礎,一旦它們被建立,幾何上的優勢就很明顯了。

發展[编辑]

周群被拓展至高階周群,這平行於從K0 (零階代數K-理論)到高階代數K-理論的拓展。[1]

算術周群Q上代數簇的周群與記錄阿基洛夫理論信息——即有關複流形結構的信息——部分的混合。[2]

歷史[编辑]

有理等價和環A*在20世紀初由意大利代數幾何學派定義,且被Severi和他的學派使用(可參考Severi的論文[3][4],他本質上研究了代數曲面S的群A0(S);也可參閱芒福德論文開頭的評論[5])。 Serge在他1930年的論文[6]中用了對奇異曲線的環A0更精細的研究來描述P2中代數曲面的支線。在1956年周煒良寫了一篇重要的論文[7]後,環A*被稱作周環。有些幾何學家堅持是格羅滕迪克提出將此環命名為周環。


参考文献[编辑]

注釋[编辑]

  1. ^ (Bloch 1986)
  2. ^ (H. Gillet & C. Soulé 1992)
  3. ^ F. Severi, "La base per le varieta algebriche di dim ensione qualunque contenute inunadata", Mem. della R. Accad. d'Italia, 5, (1934), p. 239
  4. ^ F. Severi, "The series of sets of points on an algebraic surface", Proc. Imp. Acad. Volume 12, Supplement (1936), 1-7
  5. ^ D.Mumford, "Rational equivalence of 0-cycles on surfaces", J. Math. Kyoto Univ. Volume 9, Number 2 (1969), 195-204
  6. ^ B. Segre, "Sulla Caratterizzazione delle curve di diramazione", Mem. R. Acc. d'Italia, I 4 (1930)
  7. ^ W.L. Chow, "On equivalence classes of cycles in an algebraic variety", Annals of Mathematics, 1956