哈代空間

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複分析中,哈代空間(或哈代類H^p是單位圓盤或上半平面上的某類全純函數高德菲·哈羅德·哈代首先在1915年考慮這類問題。在實分析中,實哈代空間是複哈代空間的成員在實數軸上的邊界值。對於1 < p < \infty,實哈代空間基本上等於L^p空間。當p \leq 1時,L^p空間較難操作,而哈代空間的性質就比較容易掌握。

在較高維的情況,我們可考慮管狀域(複數情形)及\mathbb{R}^n上的函數,從而得到相應的定義。

哈代空間在數學分析控制論散射理論中有所應用。

單位圓盤的哈代空間[编辑]

0 < p <\infty,哈代空間H^p定義為開單位圓盤上滿足下述性質的全純函數f

\sup_{0<r<1} \left|\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left[f(re^{i\theta})\right]^p \; d\theta\right|^\frac{1}{p}<\infty.

左側的數定義為範數\|f\|_{H^p}

0 < p < q < \infty,可證明H^q \subset H^p

上半平面的哈代空間[编辑]

凱萊變換,可將單位圓盤的定義翻譯到上半平面的情形。此時哈代空間等於上半平面上滿足下述性質的全純函數F

\sup_{y > 0} \left|\int_\mathbb{R} |F(x+iy)|^p dx\right|^{\frac{1}{p}} < \infty

左側的數定義為範數\|F\|_{H^p}

文獻[编辑]

  • Cima, Joseph A.; Ross, William T., The Backward Shift on the Hardy Space, American Mathematical Society. 2000, ISBN 0-8218-2083-4 
  • Colwell, Peter, Blaschke Products - Bounded Analytic Functions, Ann Arbor: University of Michigan Press. 1985, ISBN 0-472-10065-3 
  • Duren, P., Theory of H^p-Spaces, New York: Academic Press. 1970 
  • G.B. Folland, Hardy spaces//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
  • Hardy, G. H., On the mean value of the modulus of an analytic function, Proceedings of the London mathematical society series 2. 1915, 14: 269-277 
  • Hoffman, Kenneth, Banach spaces of analytic functions, New York: Dover Publications. 1988, ISBN 0-486-65785-X 
  • Riesz, F., Über die Randwerte einer analytischen Funktion, Math. Z.. 1923, 18: 87–95, doi:10.1007/BF01192397 
  • S.V. Shvedenko, Hardy classes//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104