哈代空間

在複分析中，哈代空間（或哈代類） $H^p$ 是單位圓盤或上半平面上的某類全純函數。高德菲·哈羅德·哈代首先在1915年考慮這類問題。在實分析中，實哈代空間是複哈代空間的成員在實數軸上的邊界值。對於 $1 < p < \infty$，實哈代空間基本上等於 $L^p$ 空間。當 $p \leq 1$ 時，$L^p$ 空間較難操作，而哈代空間的性質就比較容易掌握。

在較高維的情況，我們可考慮管狀域（複數情形）及 $\mathbb{R}^n$ 上的函數，從而得到相應的定義。

哈代空間在數學分析、控制論及散射理論中有所應用。

單位圓盤的哈代空間

對 $0 < p <\infty$，哈代空間 $H^p$ 定義為開單位圓盤上滿足下述性質的全純函數 $f$

$\sup_{0<r<1} \left|\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left[f(re^{i\theta})\right]^p \; d\theta\right|^\frac{1}{p}<\infty.$

左側的數定義為範數 $\|f\|_{H^p}$。

若 $0 < p < q < \infty$，可證明 $H^q \subset H^p$。

上半平面的哈代空間

藉凱萊變換，可將單位圓盤的定義翻譯到上半平面的情形。此時哈代空間等於上半平面上滿足下述性質的全純函數 $F$

$\sup_{y > 0} \left|\int_\mathbb{R} |F(x+iy)|^p dx\right|^{\frac{1}{p}} < \infty$

左側的數定義為範數 $\|F\|_{H^p}$。

文獻

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• Colwell, Peter, Blaschke Products - Bounded Analytic Functions, Ann Arbor: University of Michigan Press. 1985, ISBN 0-472-10065-3 
• Duren, P., Theory of $H^p$-Spaces, New York: Academic Press. 1970 
• G.B. Folland, Hardy spaces//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
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• Hoffman, Kenneth, Banach spaces of analytic functions, New York: Dover Publications. 1988, ISBN 0-486-65785-X 
• Riesz, F., Über die Randwerte einer analytischen Funktion, Math. Z.. 1923, 18: 87–95, doi:10.1007/BF01192397 
• S.V. Shvedenko, Hardy classes//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104