哈密顿－雅可比方程

跳过字词转换说明

在這篇文章內，向量與其量值分別用正粗體與斜體表示；例如，$\left| \mathbf{A} \right| = A\,\!$ 。

在物理學裏，哈密頓-雅可比方程 （HJE） 是經典力學的一種表述。哈密顿-雅可比方程、牛頓力學、拉格朗日力學、哈密頓力學，這幾個表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明保守的物理量方面，特別有用處。有時候，雖然物理問題的本身無法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍舊能夠正確的辨明保守的物理量。

HJE 是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，其解答描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。

HJE 是唯一能夠將粒子運動表達為波動的一種力學表述。因此，HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標（早至 18 世紀，約翰·白努利和他的學生皮埃爾·莫佩爾蒂的年代）；那就是，尋找波傳播與粒子運動的相似之處。力學系統的波動方程式與薛丁格方程式很相似；但是，並不相同。稍後會有詳細說明。HJE 被認為是從經典力學進入量子力學最近的門階。

數學表述

哈密頓-雅可比方程是一個一階非線形偏微分方程式。用數學表達

$\mathcal{H}\left(q_{1},\ \dots,q_{N};\ \frac{\partial S}{\partial q_{1}},\ \dots,\ \frac{\partial S}{\partial q_{N}};\ t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0\,\!$ ；

其中，$\mathcal{H}\,\!$ 是哈密頓量，未知函數 $S(q_{1},\ \dots,\ q_{N};\ a_{1},\ \dots,\ a_{N};\ t)\,\!$ 稱為哈密頓主函數，$(q_{1},\ \dots,\ q_{N})\,\!$ 是廣義座標，$( a_{1},\ \dots,\ a_{N})\,\!$ 是積分常數，$t\,\!$ 是時間。

假若能夠找到哈密頓主函數 $S\,\!$ 的形式，就可以計算出廣義坐標 $(q_{1},\ \dots,\ q_{N})\,\!$ 與廣義動量 $(p_{1},\ \dots,\ p_{N})\,\!$ 隨時間的演變。這樣，我們可以完全地解析物理系統隨時間的演化。

各種力學表述的比較

哈密頓-雅可比方程是一個一階非線形偏微分方程式；其中，函數 $S(q_{1},\ \dots,\ q_{N};\ a_{1},\ \dots,\ a_{N};\ t)\,\!$ 有 $N\,\!$ 個廣義坐標 $q_{1},\dots,q_{N}\,\!$ ，和 $N\,\!$ 個不相依的積分常數$( a_{1},\ \dots,\ a_{N})\,\!$ 。在 HJE 中，哈密頓主函數 $S\,\!$ 有一个很有意思的属性，它是一種经典作用量。

與拉格朗日力學的拉格朗日方程比較，共軛動量也並沒有出現於拉格朗日方程。可是，這些方程式乃是一組 $N\,\!$ 個二階微分方程式，用來表示 $N\,\!$ 個廣義坐標隨時間的演變。再作一個比較，在哈密頓力學裏，哈密頓方程乃是一組 $2N\,\!$ 個一階微分方程式，用來表示 $N\,\!$ 個廣義坐標和 $N\,\!$ 個廣義動量隨時間的演變。

因為 HJE 等價於一個最小積分問題（像哈密頓原理）， HJE 可以用於許多關於變分法的問題。更推廣地，在數學與物理的其它分支，像動力系統、辛幾何、量子混沌理論，都可以用 HJE 來解析問題。例如，HJE 可以用來找尋黎曼流形的測地線，這是黎曼幾何一個很重要的變分法問題。

導引

在哈密頓力學裏，正則變換將一組正則坐標 $(\mathbf{q},\ \mathbf{p})\,\!\,\!$ 變換為一組新的正則坐標 $(\mathbf{Q},\ \mathbf{P})\,\!\,\!$ ，而同時維持哈密頓方程式的型式（稱為型式不變性）。舊的哈密頓方程式為

$\dot{\mathbf{q}} =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}\,\!\,\!$ ，

$\dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}} \,\!\,\!$ ；

新的哈密頓方程式為

$\dot{\mathbf{Q}} =~~\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}\,\!\,\!$ ，

$\dot{\mathbf{P}} = - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}} \,\!\,\!$ ；

這裏，$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\,\!\,\!$ 、$\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t)\,\!\,\!$ 分別為舊的哈密頓量與新的哈密頓量，$t\,\!\,\!$ 是時間。

假若，我們使用第二型生成函數 $G_2(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)\,\!$ 來生成新正則坐標，則新舊正則坐標的關係為

$\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{p}\,\!$ ，

$\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{P}} = \mathbf{Q}\,\!$ 。

而新舊哈密頓量的關係為

$\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{\partial G_2}{\partial t}\,\!$ 。

（條目正則變換有更詳細的说明。）

哈密頓主函數

假若，我們可以找到一個第二型生成函數 $S=G_2\,\!$ 。這生成函數使新哈密頓量 $\mathcal{K}\,\!$ 恆等於 0 。稱這個生成函數 $S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)\,\!$ 為哈密頓主函數。那麼，新哈密頓量 $\mathcal{K}\,\!$ 所有的偏導數都等於 0 。哈密頓方程也變得非常的簡單：

$\dot{\mathbf{P}}=\dot{\mathbf{Q}}=0\,\!$ 。

這樣，新正則坐標都成為運動常數 $\boldsymbol{a}=( a_{1},\ \ldots,\ a_{N})\,\!$ 、 $\boldsymbol{b}=( b_{1},\ \ldots,\ b_{N})\,\!$ ：

$\mathbf{P}=\boldsymbol{a}\,\!$ ，

$\mathbf{Q}=\boldsymbol{b}\,\!$ 。

由於 $\mathbf{p}=\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}}\,\!$ ，代入舊哈密頓量，則可得到哈密頓-雅可比方程：

$\mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}},\ t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0\,\!$ 。

解析問題的重要關鍵是我們必須找到哈密頓主函數 $S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)\,\!$ 的方程式。一旦我們找到這方程式，因為

$\mathbf{p}=\frac{\partial S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}{\partial \mathbf{q}}\,\!$ ，(1)

$\mathbf{Q}=\boldsymbol{b}= \frac{\partial S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}{\partial \boldsymbol{a}}\,\!$ 。(2)

給予 $\mathbf{q}\,\!$ 與 $\mathbf{p}\,\!$ 在時間 $t=t_0\,\!$ 的初始值， $\mathbf{q}_0\,\!$ 與 $\mathbf{p}_0\,\!$ ，我們可以求出運動常數 $\boldsymbol{a}\,\!$ ，$\boldsymbol{b}\,\!$ 。知道這兩組運動常數，立刻可以得到舊正則坐標 $\mathbf{q}\,\!$ 與 $\mathbf{p}\,\!$ 隨時間的演變。

哈密頓特徵函數

假若，哈密頓量顯性的不相依於時間：$\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0\,\!$ 。那麼，

$\frac{d\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}\cdot \dot{\mathbf{p}}+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}\cdot \dot{\mathbf{q}}+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0\,\!$ 。

哈密頓量是一個運動常數，標記為 $a_{\mathcal{H}}\,\!$ ：

$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})= a_{\mathcal{H}}\,\!$ ，

$\frac{\partial S}{\partial t}=\mathcal{K} - \mathcal{H}= - a_{\mathcal{H}}\,\!$ 。

哈密頓主函數可以分離成兩部分：

$S = W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a}) - a_{\mathcal{H}}t\,\!$ ；

其中，不相依於時間的函數 $W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})\,\!$ 稱為哈密頓特徵函數。

思考一個新的正則變換。設定哈密頓特徵函數 $W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})\,\!$ 為一個第二型生成函數 $G_2\,\!$ ：

$\mathbf{p}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}\,\!$ ，

$\mathbf{Q}=\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{a}}\,\!$ 。

那麼，哈密頓-雅可比方程變為

$\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}})= a_{\mathcal{H}}\,\!$ 。

由於哈密頓特徵函數顯性的不相依於時間，新舊哈密頓量的關係為

$\mathcal{K}=\mathcal{H}=a_{\mathcal{H}}\,\!$ ；

新正則坐標隨時間的導數變為

$\dot{\mathbf{P}}= - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial Q}=0,\!$ ，

$\dot{Q}_1=\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial a_1}=1\,\!$ ，$\qquad\qquad\,\!$設定 $a_1\,\!$ 為 $a_{\mathcal{H}}\,\!$ ，

$\dot{Q}_i=\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial a_i}=0\,\!$ ，$\qquad\qquad\,\!$$i>1\,\!$ 。

所以，新正則坐標變為

$\mathbf{P}=\boldsymbol{a}\,\!$ ，

$Q_1=t+b_1\,\!$ ，

$Q_i=b_i,\qquad\qquad I > 1 \,\!$ 。

假若，我們能找到哈密頓特徵函數 $W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a})\,\!$ ，給予舊廣義坐標 $\mathbf{q}\,\!$ 與舊廣義動量 $\mathbf{p}\,\!$ 在時間 $t=t_0\,\!$ 的初始值， $\mathbf{q}_0\,\!$ 與 $\mathbf{p}_0\,\!$ ，依照前面所述方法，就可以求出舊正則坐標隨時間的演變。

分離變數法

哈密頓-雅可比方程最有用的時候，是當它可以使用分離變數法，來直接地辨明運動常數。假設，HJE 可以分為兩部分。一部分只相依於廣義坐標 $q_{k}\,\!$ 與哈密頓主函數的偏導數 $\frac{\partial S}{\partial q_{k}}\,\!$ ，標記這部分為 $\psi \left(q_{k},\ \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right)\,\!$ 。另一部分完全不相依於 $q_{k}\,\!$ 與 $\frac{\partial S}{\partial q_{k}}\,\!$ 。對於這狀況，哈密頓主函數 $S\,\!$ 可以分離為兩個函數。一個函數 $S_{k}\,\!$ 除了廣義坐標 $q_{k}\,\!$ 以外，不相依於任何其它廣義坐標。另外一個函數 $S_{rem}\,\!$ 完全不相依於 $q_{k}\,\!$ 。

$S = S_{k}(q_{k};\ \mathbf{P}) + S_{rem}(q_{1},\ \dots,\ q_{k-1},\ q_{k+1},\ \ldots,\ q_{N};\ \mathbf{P};\ t)\,\!$ 。

由於每一個廣義動量都是運動常數，$\mathbf{P}=\mathbf{a}\,\!$ ，函數 $S_{k}\,\!$ 只相依於廣義座標 $q_{k}\,\!$ ：

$S_{k}(q_{k};\ \mathbf{P})=S_{k}(q_{k})\,\!$ ，

$\psi \left(q_{k},\ \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right)=\psi \left(q_{k},\ \frac{dS_k}{dq_{k}}\right)=\psi(q_{k})\,\!$ 。

將哈密頓主函數 $S\,\!$ 代入 HJE 。我們可以觀察到，$q_{k}\,\!$ 只出現於函數 $\psi\,\!$ 內部，而不出現於 HJE 的任何其它地方。所以，函數 $\psi\,\!$ 必須等於常數（在這裏標記為 $\Gamma_{k}\,\!$）。這樣，我們得到一個一階常微分方程：

$\psi \left(q_{k},\ \frac{d S_{k}}{d q_{k}} \right) = \Gamma_{k}\,\!$ 。

在某些問題裏，很幸運地，函數 $S\,\!$ 可以完全的分離為 $N\,\!$ 個函數 $S_{k}(q_{k})\,\!$：

$S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots+S_{N}(q_{N}) - a_{\mathcal{H}}t\,\!$ 。

這些問題的偏微分方程可以分離為 $N\,\!$ 個常微分方程。

哈密頓主函數 $S\,\!$ 的可分性，相關於哈密頓量和廣義坐標的選擇。假若，一個物理系統符合施特克爾條件 (Staeckel conditions) ，則哈密頓主函數 $S\,\!$ 可以完全分離。以下為用幾種正交座標來完全分離 HJE 的例子。

球坐標系

採用球坐標 $(r,\ \theta,\ \phi)\,\!$ ，假設一個物理系統的哈密頓量為

$\mathcal{H}= \frac{1}{2m} \left[ p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2} \sin^{2} \theta} \right] + U(r,\ \theta,\ \phi)$ ；

其中，$(p_r,\ p_{\theta},\ p_{\phi})\,\!$ 是廣義動量，$U\,\!$ 為位勢函數，不相依於時間。

那麼，哈密頓-雅可比方程可以表達為

$\mathcal{H}= \frac{1}{2m} \left[\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2} + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial \theta}\right)^2 + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} \theta}\left(\frac{\partial S}{\partial \phi}\right)^{2} \right] + U(r,\ \theta,\ \phi)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\,\!$ ；

其中，$S\,\!$ 是哈密頓主函數。

假若，位勢函數 $U(r,\ \theta,\ \phi)\,\!$ 的形式可以進一步設定為

$U(r,\ \theta,\ \phi) = U_{r}(r) + \frac{U_{\theta}(\theta)}{r^{2}} + \frac{U_{\phi}(\phi)}{r^{2}\sin^{2}\theta}\,\!$ ；

其中， $U_{r}(r)\,\!$ 、 $U_{\theta}(\theta)\,\!$ 、 $U_{\phi}(\phi)\,\!$ ，都是任意函數；則 HJE 是完全可分的。將完全分離的解答 $S = S_{r}(r) + S_{\theta}(\theta) + S_{\phi}(\phi) - a_{\mathcal{H}}t\,\!$ 代入 HJE ，會得到方程式

$\left[\left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2m U_{r}(r)\right] + \frac{1}{r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) \right] + \frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \left[ \left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) \right] =2ma_{\mathcal{H}}\,\!$ 。

變數 $\phi\,\!$ 只出現於公式左手邊的第三個方括弧內；其它變數都不出現於公式的這部分。所以，可以將這部分孤立出來，成為一個常微分方程：

$\left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) = \Gamma_{\phi} \,\!$ ；

其中，$\Gamma_{\phi}\,\!$ 是運動常數。

簡化的 HJE 不相依於 $\phi\,\!$ ：

$\left[\left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2m U_{r}(r) \right]+ \frac{1}{r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} \right] =2m a_{\mathcal{H}}\,\!$ 。

同樣的，我們可以將變數 $\theta\,\!$ 出現的部分孤立出來，成為一個常微分方程：

$\left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} = \Gamma_{\theta}\,\!$ ；

其中，$\Gamma_{\theta}\,\!$ 是運動常數。

剩下的是一個徑向距離函數 $S_{r}\,\!$ 的常微分方程。：

$\left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2mU_{r}(r) + \frac{\Gamma_{\theta}}{ r^{2}} =2m a_{\mathcal{H}}\,\!$ 。

這樣，可以完全地分離 HJE 。

橢圓柱坐標系

採用橢圓柱坐標 $(\mu,\ \nu,\ z)\,\!$ ，假設假設一個物理系統的哈密頓量為

$\mathcal{H} = \frac{p_{\mu}^{2} + p_{\nu}^{2}}{2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m} + U(\mu,\ \nu,\ z)$

其中，$(p_{\mu},\ p_{\nu},\ p_z)\,\!$ 是廣義動量，$U\,\!$ 為位勢函數，不相依於時間。

那麼，哈密頓-雅可比方程可以表達為

$\mathcal{H} = \frac{1}{2ma^2(\sinh^2\mu+\sin^2\nu)}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial \mu}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial \nu}\right)^2\right] + \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} + U(\mu,\ \nu,\ z)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\,\!$ 。

假若，位勢函數 $U(\mu,\ \nu,\ z)\,\!$ 的形式可以進一步設定為

$U(\mu,\ \nu,\ z) = \frac{U_{\mu}(\mu) + U_{\nu}(\nu)}{\sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu} + U_{z}(z)\,\!$ ；

其中，$U_{\mu}(\mu)\,\!$ 、 $U_{\nu}(\nu)\,\!$ 、 $U_{z}(z)\,\!$ ，都是任意函數；則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答 $S = S_{\mu}(\mu) + S_{\nu}(\nu) + S_{z}(z) - a_{\mathcal{H}}t\,\!$ 。將這猜想公式代入 HJE ，

$\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_z}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z)+ \frac{1}{2ma^2 (\sinh^2 \mu + \sin^2 \nu)} \left[ \left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu)\right] = a_{\mathcal{H}}\,\!$ 。

公式左手邊的前兩個項目只相依於變數 $z\,\!$ ；其它的項目都不相依於 $z\,\!$ 。所以，可以將那兩個項目分離出來，成為一個常微分方程：

$\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z} \,\!$ ；

其中，$\Gamma_{z}\,\!$ 是運動常數。

簡化的 HJE 不相依於 $z\,\!$ ：

$\left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) = 2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right) \left(a_{\mathcal{H}} - \Gamma_{z} \right)\,\!$ 。

這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程：

$\left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) \sinh^{2} \mu = \Gamma_{\mu}\,\!$ ，

$\left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) \sin^{2} \nu = - \Gamma_{\mu}\,\!$ 。

其中，$\Gamma_{\mu}\,\!$ 是運動常數。

這樣，可以完全地分離 HJE 。

拋物柱面坐標系

採用拋物柱面坐標 $(\sigma,\ \tau,\ z)\,\!$ ，假設假設一個物理系統的哈密頓量為

$\mathcal{H}= \frac{p_{\sigma}^{2} + p_{\tau}^{2}}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2}\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m} + U(\sigma,\ \tau,\ z)$ ；

其中，$(p_{\sigma},\ p_{\tau},\ p_z)\,\!$ 是廣義動量，$U\,\!$ 為位勢函數，不相依於時間。

那麼，哈密頓-雅可比方程可以表達為

$\mathcal{H}=\frac{1}{2m (\sigma^2 + \tau^2)}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial \sigma}\right)^2+\left(\frac{\partial S}{\partial \tau}\right)^2\right] + \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} + U(\sigma,\ \tau,\ z)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\,\!$ 。

假若，位勢函數 $U(\sigma,\ \tau,\ z)\,\!$ 的形式可以進一步設定為

$U(\sigma,\ \tau,\ z) = \frac{U_{\sigma}(\sigma) + U_{\tau}(\tau)}{\sigma^{2} + \tau^{2}} + U_{z}(z)\,\!$ ；

其中，$U_{\sigma}(\sigma)\,\!$ 、 $U_{\tau}(\tau)\,\!$ 、 $U_{z}(z)\,\!$ ，都是任意函數；則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答 $S = S_{\sigma}(\sigma) + S_{\tau}(\tau) + S_{z}(z) - a_{\mathcal{H}}t\,\!$ 。將這猜想公式代入 HJE ，

$\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) + \frac{1}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)} \left[ \left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau)\right] = a_{\mathcal{H}}\,\!$ 。

公式左手邊的前兩個項目只相依於變數 $z\,\!$ ；其它的項目都不相依於 $z\,\!$ 。所以，可以將那兩個項目分離出來，成為一個常微分方程：

$\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}\,\!$ ；

其中，$\Gamma_{z}\,\!$ 是運動常數。

簡化的 HJE 不相依於 $z\,\!$ ：

$\left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau) = 2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) \left( a_{\mathcal{H}} - \Gamma_{z} \right)\,\!$ 。

這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程：

$\left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m\sigma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) = \Gamma_{\sigma}\,\!$ ，

$\left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\tau}(\tau) + 2m \tau^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) = - \Gamma_{\sigma}\,\!$ ；

其中，$\Gamma_{\sigma}\,\!$ 是運動常數。

這樣，可以完全地分離 HJE 。

薛丁格方程式

二十世紀初期，阿爾伯特·愛因斯坦發表了光電效應理論。他詮釋馬克斯·普朗克所研究的黑體輻射的量子為一種粒子，稱為光子；也就是說，光波具有波粒二象性。他並且建議光子的能量與頻率成正比。稍後，路易·德布羅意提出了一個更驚人的假設，每一種粒子都具有波粒二象性。埃爾文·薛丁格日以繼夜地思考這些先進理論，既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠表達這特性的波動方程式，可以正確地描述粒子的量子行為。薛丁格試著尋找這個波動方程式。他精通熟習威廉·哈密頓發現的光機械類比性(optico-mechancal analogy)：粒子的運動路徑具有光線性質，這路徑垂直於等作用量曲面；在波動方面，當兩個相繼的波前之間的距離趨向無窮小時，哈密頓表述可以推導出惠更斯－菲涅耳原理。經過一番努力，應用哈密頓-雅可比方程式，他成功地推導出薛丁格方程式。

粒子方程式⇒波動方程式

思考一個粒子，運動於一個保守的位勢 $U(\mathbf{r})\,\!$ 。我們可以寫出它的哈密頓-雅可比方程

$\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0\,\!$ ；

其中，$S(\mathbf{r},\ \boldsymbol{a};\ t)\,\!$ 是哈密頓主函數。

由於位勢顯性地不相依於時間，哈密頓主函數可以分離成兩部分：

$S = W(\mathbf{r},\ \boldsymbol{ a}) - Et\,\!$ ；(3)

其中，不相依於時間的函數 $W(\mathbf{r},\ \boldsymbol{ a})\,\!$ 是哈密頓特徵函數，$E\,\!$ 是能量。

將公式 (3) 代入哈密頓-雅可比方程，稍加運算，可以得到

$|\boldsymbol{\nabla} S|= \sqrt{2m(E-U)}\,\!$ ；

哈密頓主函數隨時間的全導數是

$\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}\,\!$ 。

思考哈密頓主函數 $S\,\!$ 的一個常數的等值曲面 $\sigma_0\,\!$ 。這常數的等值曲面 $\sigma_0\,\!$ 在空間移動的方程式為

$0=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}= - E +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}\,\!$ 。

所以，在設定等值曲面的正負面後，$\sigma_0\,\!$ 朝著法線方向移動的速度 $u\,\!$ 是

$u=\frac{dr}{dt}=\frac{E}{|\nabla S|}=\frac{E}{ \sqrt{2m(E - U)}}\,\!$ 。

這速度 $u\,\!$ 是相速度，而不是粒子的移動速度 $v\,\!$ ：

$v=\frac{|\boldsymbol{\nabla} S|}{m}=\sqrt{\frac{2(E-U)}{m}}\,\!$ 。

我們可以想像 $\sigma_0\,\!$ 為一個相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，試著給予粒子一個相位與 $S\,\!$ 成比例的波函數：

$\Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{iS/\kappa}\,\!$ ；

其中，$\kappa\,\!$ 是常數，$A(\mathbf{r})\,\!$ 是相依於位置的係數函數。

將公式 (3) 代入 $\Psi(\mathbf{r},\,t)\,\!$ 波函數，

$\Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\kappa}\,\!$ 。

注意到 $E/\kappa\,\!$ 的因次必須是頻率，薛丁格突然想起愛因斯坦的光電效應理論 $E=\hbar \omega\,\!$ ；其中，$\hbar \,\!$ 是約化普朗克常數，$\omega\,\!$ 是角頻率。設定 $\kappa=\hbar\,\!$ ，粒子的波函數 $\Psi\,\!$ 變為

$\Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\hbar}=\psi(\mathbf{r})e^{ - iEt/\hbar}\,\!$ ；

其中，$\psi(\mathbf{r})=A(\mathbf{r})e^{iW(\mathbf{r})/\hbar}\,\!$ 。

$\Psi(\mathbf{r},\,t)\,\!$ 的波動方程式為

$\nabla^2 \Psi - \frac{1}{u^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=0\,\!$ 。

將 $\Psi(\mathbf{r},\,t)\,\!$ 波函數代入波動方程式， 經過一番運算，得到

$\nabla^2 \Psi - \frac{E^2}{\hbar^2u^2}\Psi=\nabla^2 \Psi - \frac{2m(E - U)}{\hbar^2}\Psi=0\,\!$ 。

注意到 $E\Psi=i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}\,\!$ 。稍加編排，可以導引出薛丁格方程式：

$- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t) +U\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}\,\!$ 。

波動方程式⇒粒子方程式

逆反過來，從薛丁格方程式開始：

$- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t) +U\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}\,\!$ 。

猜想 $\Psi\,\!$ 為

$\Psi = \psi(\mathbf{r}) e^{iS(\mathbf{r},\,t)/\hbar}\,\!$ 。

將 $\Psi\,\!$ 代入薛丁格方程式，稍加運算，可以得到

$\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \nabla^{2} S\,\!$ 。

這薛丁格方程式的經典極限 ($\hbar \rightarrow 0\,\!$) 與哈密頓-雅可比方程相等：

$\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0\,\!$ 。

重力場

重力場可以用哈密頓-雅可比方程表達為

$g^{ik}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{i}}}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{k}}} - m^{2}c^{2} = 0\,\!$ ；

其中，$g^{ik}\,\!$ 是度規張量逆變 (contravariant) 分量，$m\,\!$ 是固有質量，$c\,\!$ 是光速。

參閱

• 哈密頓方程
• 作用量
• 作用量-角度坐標
• 拉普拉斯-龍格-冷次向量

參考文獻

• Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", Dublin University Review, pp. 795-826。

• Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", British Association Report, pp.513-518。

• Eisenhart L.P., "Separable Systems of Stackel", "The Annals of Mathematics", 2nd Ser., Vol. 35, No. 2 (Apr., 1934), pp. 284-305

• Eisenhart L.P., "Separable Systems in Euclidean 3-Space", "Physical Review", vol. 45, Issue 6, pp. 427-428。

• H. Goldstein. Classical Mechanics. Addison Wesley. 2002. ISBN 0-201-65702-3. 

• A. Fetter and J. Walecka. Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. 2003. ISBN 0-486-43261-0. 

• Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam … Tokyo, 1975。