哈密顿向量场

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数学物理中,哈密顿向量场辛流形上一个向量场,定义在任何能量函数哈密顿函数上。以物理学家和数学家威廉·卢云·哈密顿命名。哈密顿向量场是经典力学中的哈密顿方程的几何表现形式,哈密顿向量场的积分曲线表示哈密顿形式的运动方程的解。由哈密顿向量场生成的辛流形微分同胚,在物理中称为典范变换,在数学中称为(哈密顿)辛同胚

哈密顿向量场可以更一般地定义在任何泊松流形上。对应于流形上的函数 fg 的两个哈密顿向量场的李括号也是一个哈密顿向量场,其哈密顿函数由 gf泊松括号给出。

定义[编辑]

假设 (M,ω) 是一个辛流形。因为辛形式 ω 非退化,诱导了切丛 TM余切丛 T^*M 的一个线性同构

\omega:TM\to T^*M

以及逆

\Omega:T^*M\to TM, \quad \Omega=\omega^{-1}\ .

从而,流形 M 上的1-形式可以与向量场等价起来,故任何可微函数 H:M\to\mathbb{R} 确定了惟一的向量场 XH = Ω(dH),称为哈密顿函数 H哈密顿向量场。即对 M 上任何向量场 Y,等式

\mathrm{d}H(Y) = \omega(X_H,Y)\ ,

一定成立。

:一些作者定义哈密顿向量场为相反的符号;需注意物理与数学著作的不同习惯。

例子[编辑]

假设 M 是一个 2n 维辛流形。则由达布定理,我们在局部总可以取 M 的一个典范坐标 (q^1,\ldots ,q^n,p_1,\ldots,p_n),在这个坐标系下辛形式表示为

\omega=\sum_i \mathrm{d}q^i \wedge \mathrm{d}p_i.

则关于哈密顿函数 H 的哈密顿向量场具有形式

X_H = \left( \frac{\partial H}{\partial p_i}, 
- \frac{\partial H}{\partial q^i} \right) = \Omega\,\mathrm{d}H\ ,

这里 Ω 是一个 2n × 2n 矩阵

\Omega =
\begin{bmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{bmatrix}\ .

假设 M = R2n 是 2n 维具有(整体)典范坐标的辛向量空间

  • 如果 H=p_iX_H=\partial/\partial q^i\ ;
  • 如果 H=q^iX_H=-\partial/\partial p^i\ ;
  • 如果 H=1/2\sum (p_i)^2X_H=\sum p_i\partial/\partial q^i\ ;
  • 如果 H=1/2\sum a_{ij} q^i q^j, a_{ij}=a_{ji} X_H=-\sum a_{ij} p_i\partial/\partial q^j\ .

性质[编辑]

  • 映射  f\mapsto X_f 线性的,所以两个哈密顿函数之和变为相应的哈密顿向量场之和。
\dot{q}^i = \frac {\partial H}{\partial p_i},\quad \dot{p}_i = - \frac {\partial H}{\partial q^i}\ .
  • 哈密顿函数 H 在积分曲线上是常数,这就是 H(\gamma(t)) 与时间 t 无关。这个性质对应于哈密顿力学中的能量守恒
  • 更一般地,如果两个函数 FH泊松括号为零(见下),则 F 沿着 H 的积分曲线为常数;类似地 H 沿着 F 的积分曲线是常数。这个事实是诺特定理背后的数学原理。

泊松括号[编辑]

哈密顿向量场的概念导致了辛流形 M 上的可微函数的一个斜对称双线性算子,这就是泊松括号,由如下公式定义

\{f,g\} = \omega(X_f,X_g)= df(X_g) = \mathcal{L}_{X_g} f\ ,

这里 \mathcal{L}_X 表示沿着向量场 X李导数。此外,我们可以验证有恒等式:

 X_{\{f,g\}}=-[X_f,X_g],

这里右边表示哈密顿函数 gg 对应的哈密顿向量场的李括号。事实上有:

\begin{align}
 &\iota_{[X_f,X_g]}\omega\\
=&(\mathcal{L}_{X_f}\circ\iota_{X_g}-\iota_{X_g}\circ\mathcal{L}_{X_f})\omega \\
=&\mathcal{L}_{X_f}\circ\iota_{X_g}\omega \\
=&(\iota_{X_f}\circ d+d\circ\iota_{X_f})d g \\
=&d (\iota_{X_f})d g) \\
=&-d \{f,g\} \\
\end{align}

作为一个推论,泊松括号满足雅可比恒等式

 \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0\ ,

这意味着 M 上可微函数组成的向量空间,赋予泊松括号,是 R 上的一个李代数,且映射  f\mapsto X_f 是一个李代数反同态,其由局部常值函数组成(如果 M 连通则为常数)。

参考文献[编辑]