哈密顿-雅可比方程

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威廉·哈密顿
卡爾·雅可比

物理學裏,哈密頓-雅可比方程 (Hamilton-Jacoby equation,HJE) 是經典力學的一種表述。哈密顿-雅可比方程、牛頓力學拉格朗日力學哈密頓力學,這幾個表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明保守物理量方面,特別有用處。有時候,雖然物理問題的本身無法完全解析,哈密顿-雅可比方程仍舊能夠正確的辨明保守的物理量。

HJE 是经典哈密顿量一个正则变换,经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程,其解答描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程,每个变量对应于一个坐标,而哈密顿方程是一个一阶线性方程组,每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题,例如开普勒问题

HJE 是唯一能夠將粒子運動表達為波動的一種力學表述。因此,HJE 滿足了一個長久以來理論物理的研究目標(早至 18 世紀,約翰·白努利和他的學生皮埃爾·莫佩爾蒂的年代);那就是,尋找波傳播與粒子運動的相似之處。力學系統的波動方程式薛丁格方程式很相似;但是,並不相同。稍後會有詳細說明。HJE 被認為是從經典力學進入量子力學最近的門階。

數學表述[编辑]

哈密頓-雅可比方程是一個一階非線形偏微分方程式。用數學表達

\mathcal{H}\left(q_{1},\ \dots,q_{N};\ \frac{\partial S}{\partial q_{1}},\ \dots,\ \frac{\partial S}{\partial q_{N}};\ t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0

其中,\mathcal{H}哈密頓量,未知函數 S(q_{1},\ \dots,\ q_{N};\   a_{1},\ \dots,\  a_{N};\  t) 稱為哈密頓主函數(q_{1},\ \dots,\ q_{N})廣義座標( a_{1},\ \dots,\  a_{N}) 是積分常數,t 是時間。

假若能夠找到哈密頓主函數 S 的形式,就可以計算出廣義坐標 (q_{1},\ \dots,\ q_{N})廣義動量 (p_{1},\ \dots,\ p_{N}) 隨時間的演變。這樣,可以完全地解析物理系統隨時間的演化。

各種力學表述的比較[编辑]

哈密頓-雅可比方程是一個一階非線形偏微分方程式;其中,函數 S(q_{1},\ \dots,\ q_{N};\   a_{1},\ \dots,\  a_{N};\  t)N 個廣義坐標 q_{1},\dots,q_{N} ,和 N 個獨立的積分常數( a_{1},\ \dots,\  a_{N}) 。在 HJE 中,哈密頓主函數 S 有一个很有意思的属性,它是一種经典作用量

與拉格朗日力學的拉格朗日方程比較,哈密頓力學裏使用共軛動量而非廣義速度。並且,哈密頓方程乃是一組 2N 個一階微分方程式,用來表示 N 個廣義坐標和 N 個廣義動量隨時間的演變,而拉格朗日方程則是一組 N 個二階微分方程式,用來表示 N 個廣義坐標隨時間的演變。

因為 HJE 等價於一個最小積分問題(像哈密頓原理), HJE 可以用於許多關於變分法的問題。更推廣地,在數學與物理的其它分支,像動力系統辛幾何量子混沌理論,都可以用 HJE 來解析問題。例如,HJE 可以用來找尋黎曼流形測地線,這是黎曼幾何一個很重要的變分法問題。

導引[编辑]

哈密頓力學裏,正則變換將一組正則坐標 (\mathbf{q},\ \mathbf{p}) 變換為一組新的正則坐標 (\mathbf{Q},\ \mathbf{P}) ,而同時維持哈密頓方程式的型式(稱為型式不變性)。舊的哈密頓方程式為

\dot{\mathbf{q}} =~~\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}
\dot{\mathbf{p}} = - \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}

新的哈密頓方程式為

\dot{\mathbf{Q}} =~~\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{P}}
\dot{\mathbf{P}} = - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial \mathbf{Q}}

這裏,\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)\mathcal{K}(\mathbf{Q},\ \mathbf{P},\ t) 分別為舊的哈密頓量與新的哈密頓量,t 是時間。

假若,使用第二型生成函數 G_2(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t) 來生成新正則坐標,則新舊正則坐標的關係為

\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}} = \mathbf{p}
\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{P}} = \mathbf{Q}

而新舊哈密頓量的關係為

\mathcal{K}=\mathcal{H}+\frac{\partial G_2}{\partial t}

(條目正則變換有更詳細的说明。)

哈密頓主函數[编辑]

假若,可以找到一個第二型生成函數 S=G_2 。這生成函數使新哈密頓量 \mathcal{K} 恆等於 0 。稱這個生成函數 S(\mathbf{q},\ \mathbf{P},\ t)哈密頓主函數。那麼,新哈密頓量 \mathcal{K} 所有的偏導數都等於 0 。哈密頓方程也變得非常的簡單:

\dot{\mathbf{P}}=\dot{\mathbf{Q}}=0

這樣,新正則坐標都成為運動常數 \boldsymbol{a}=( a_{1},\ \ldots,\  a_{N})\boldsymbol{b}=( b_{1},\ \ldots,\  b_{N})

\mathbf{P}=\boldsymbol{a}
\mathbf{Q}=\boldsymbol{b}

由於 \mathbf{p}=\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}} ,代入舊哈密頓量,則可得到哈密頓-雅可比方程:

\mathcal{H}\left(\mathbf{q},\ \frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}},\ t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0

解析問題的重要關鍵是必須找到哈密頓主函數 S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t) 的方程式。一旦找到這方程式,因為

\mathbf{p}=\frac{\partial S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}{\partial \mathbf{q}}(1)
\mathbf{Q}=\boldsymbol{b}= \frac{\partial S(\mathbf{q},\ \boldsymbol{a},\ t)}{\partial \boldsymbol{a}}(2)

給予 \mathbf{q}\mathbf{p} 在時間 t=t_0 的初始值, \mathbf{q}_0\mathbf{p}_0 ,可以求出運動常數 \boldsymbol{a}\boldsymbol{b} 。知道這兩組運動常數,立刻可以得到舊正則坐標 \mathbf{q}\mathbf{p} 隨時間的演變。

哈密頓特徵函數[编辑]

假設,哈密頓量不顯含時:\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0 。那麼,

\frac{d\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p},\ t)}{dt}=\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p}}\cdot \dot{\mathbf{p}}+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{q}}\cdot \dot{\mathbf{q}}+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial t}=0

哈密頓量是一個運動常數,標記為  a_{\mathcal{H}}

\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \mathbf{p})= a_{\mathcal{H}}
\frac{\partial S}{\partial t}=\mathcal{K} - \mathcal{H}= -  a_{\mathcal{H}}

哈密頓主函數可以分離成兩部分:

S = W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a}) -  a_{\mathcal{H}}t

其中,不含時間的函數 W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a}) 稱為哈密頓特徵函數

思考一個新的正則變換。設定哈密頓特徵函數 W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a}) 為一個第二型生成函數 G_2

\mathbf{p}=\frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}}
\mathbf{Q}=\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{a}}

那麼,哈密頓-雅可比方程變為

\mathcal{H}(\mathbf{q},\ \frac{\partial W}{\partial \mathbf{q}})= a_{\mathcal{H}}

由於哈密頓特徵函數不顯含時,新舊哈密頓量的關係為

\mathcal{K}=\mathcal{H}=a_{\mathcal{H}}

新正則坐標隨時間的導數變為

\dot{\mathbf{P}}= - \frac{\partial \mathcal{K}}{\partial  Q}=0,\!
\dot{Q}_1=\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial  a_1}=1\qquad\qquad設定 a_1a_{\mathcal{H}}
\dot{Q}_i=\frac{\partial \mathcal{K}}{\partial  a_i}=0\qquad\qquadi>1

所以,新正則坐標變為

\mathbf{P}=\boldsymbol{a}
Q_1=t+b_1
Q_i=b_i,\qquad\qquad I > 1

假若,能找到哈密頓特徵函數 W(\mathbf{q},\ \boldsymbol{ a}) ,給予舊廣義坐標 \mathbf{q} 與舊廣義動量 \mathbf{p} 在時間 t=t_0 的初始值, \mathbf{q}_0\mathbf{p}_0 ,依照前面所述方法,就可以求出舊正則坐標隨時間的演變。

分離變數法[编辑]

哈密頓-雅可比方程最有用的時候,是當它可以使用分離變數法,來直接地辨明運動常數。假設,HJE 可以分為兩部分。一部分只跟廣義坐標 q_{k} 、哈密頓主函數的偏導數 \frac{\partial S}{\partial q_{k}} 有關,標記這部分為 \psi \left(q_{k},\ \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right) 。另一部分跟 q_{k}\frac{\partial S}{\partial q_{k}} 無關。對於這狀況,哈密頓主函數 S 可以分離為兩個函數。一個函數 S_{k} 除了廣義坐標 q_{k} 以外,跟任何其它廣義坐標無關。另外一個函數 S_{rem}q_{k} 無關。

S = S_{k}(q_{k};\ \mathbf{P}) + S_{rem}(q_{1},\ \dots,\ q_{k-1},\ q_{k+1},\ \ldots,\ q_{N};\ \mathbf{P};\ t)

由於每一個廣義動量都是運動常數,\mathbf{P}=\mathbf{a} ,函數 S_{k} 只跟廣義座標 q_{k} 有關:

S_{k}(q_{k};\ \mathbf{P})=S_{k}(q_{k})
\psi \left(q_{k},\ \frac{\partial S}{\partial q_{k}} \right)=\psi \left(q_{k},\ \frac{dS_k}{dq_{k}}\right)=\psi(q_{k})

若將哈密頓主函數 S 代入 HJE,則可以觀察到,q_{k} 只出現於函數 \psi 內部,而不出現於 HJE 的任何其它地方。所以,函數 \psi 必須等於常數(在這裏標記為 \Gamma_{k})。這樣,可得到一個一階常微分方程

\psi \left(q_{k},\ \frac{d S_{k}}{d q_{k}} \right) = \Gamma_{k}

在某些問題裏,很幸運地,函數 S 可以完全的分離為 N 個函數 S_{k}(q_{k})

S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots+S_{N}(q_{N}) - a_{\mathcal{H}}t

這些問題的偏微分方程可以分離為 N 個常微分方程。

哈密頓主函數 S 的可分性,相關於哈密頓量和廣義坐標的選擇。假若,一個物理系統符合施特克爾條件 (Staeckel conditions) ,則哈密頓主函數 S 可以完全分離。以下為用幾種正交座標來完全分離 HJE 的例子。

球坐標系[编辑]

採用球坐標 (r,\ \theta,\ \phi) ,假設一個物理系統的哈密頓量為

\mathcal{H}= \frac{1}{2m} \left[ p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2} \sin^{2} \theta} \right] + U(r,\ \theta,\ \phi)

其中,(p_r,\ p_{\theta},\ p_{\phi}) 是廣義動量,U位勢函數,不含時間。

那麼,哈密頓-雅可比方程可以表達為

\mathcal{H}= \frac{1}{2m} \left[\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2} + \frac{1}{r^2}\left(\frac{\partial S}{\partial \theta}\right)^2 + \frac{1}{r^{2} \sin^{2} \theta}\left(\frac{\partial S}{\partial \phi}\right)^{2} \right] + U(r,\ \theta,\ \phi)+\frac{\partial S}{\partial t}=0

其中,S 是哈密頓主函數。

假若,位勢函數 U(r,\ \theta,\ \phi) 的形式可以進一步設定為

U(r,\ \theta,\ \phi) = U_{r}(r) + \frac{U_{\theta}(\theta)}{r^{2}} + \frac{U_{\phi}(\phi)}{r^{2}\sin^{2}\theta}

其中, U_{r}(r)U_{\theta}(\theta)U_{\phi}(\phi) ,都是任意函數;則 HJE 是完全可分的。將完全分離的解答 S = S_{r}(r) + S_{\theta}(\theta) + S_{\phi}(\phi) - a_{\mathcal{H}}t 代入 HJE ,會得到方程式

\left[\left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2m U_{r}(r)\right] + 
\frac{1}{r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) \right] + 
\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \left[ \left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) \right]  =2ma_{\mathcal{H}}

變數 \phi 只出現於公式左手邊的第三個方括弧內;其它變數都不出現於公式的這部分。所以,可以將這部分孤立出來,成為一個常微分方程:

\left( \frac{dS_{\phi}}{d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) = \Gamma_{\phi}

其中,\Gamma_{\phi}運動常數

簡化的 HJE 跟 \phi 無關:

 \left[\left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2m U_{r}(r) \right]+ 
\frac{1}{r^{2}} \left[ \left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} \right] =2m a_{\mathcal{H}}

同樣地,可以將變數 \theta 出現的部分孤立出來,成為一個常微分方程:

\left( \frac{dS_{\theta}}{d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} = \Gamma_{\theta}

其中,\Gamma_{\theta} 是運動常數。

剩下的是一個徑向距離函數 S_{r} 的常微分方程。:

 \left( \frac{dS_{r}}{dr} \right)^{2} + 2mU_{r}(r) + \frac{\Gamma_{\theta}}{ r^{2}} =2m a_{\mathcal{H}}

這樣,可以完全地分離 HJE 。

橢圓柱坐標系[编辑]

採用橢圓柱坐標 (\mu,\ \nu,\ z) ,假設假設一個物理系統的哈密頓量為

\mathcal{H} = \frac{p_{\mu}^{2} + p_{\nu}^{2}}{2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m}  + U(\mu,\ \nu,\ z)

其中,(p_{\mu},\ p_{\nu},\ p_z) 是廣義動量,U位勢函數,不含時間。

那麼,哈密頓-雅可比方程可以表達為

\mathcal{H} = \frac{1}{2ma^2(\sinh^2\mu+\sin^2\nu)}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial \mu}\right)^2 + \left(\frac{\partial S}{\partial \nu}\right)^2\right] + \frac{1}{2m} \left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2} + U(\mu,\ \nu,\ z)+\frac{\partial S}{\partial t}=0

假若,位勢函數 U(\mu,\ \nu,\ z) 的形式可以進一步設定為

U(\mu,\ \nu,\ z) = \frac{U_{\mu}(\mu) + U_{\nu}(\nu)}{\sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu} + U_{z}(z)

其中,U_{\mu}(\mu)U_{\nu}(\nu)U_{z}(z) ,都是任意函數;則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答 S = S_{\mu}(\mu) + S_{\nu}(\nu) + S_{z}(z) - a_{\mathcal{H}}t 。將這猜想公式代入 HJE ,

\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_z}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z)+ \frac{1}{2ma^2 (\sinh^2 \mu + \sin^2 \nu)}
\left[ \left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu)\right] = a_{\mathcal{H}}

公式左手邊的前兩個項目只跟變量 z 有關;其它的項目都跟 z 無關。所以,可以將那兩個項目分離出來,成為一個常微分方程:

\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}

其中,\Gamma_{z} 是運動常數。

簡化的 HJE 跟 z 有關:

\left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) = 2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right) \left(a_{\mathcal{H}} - \Gamma_{z} \right)

這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程:

\left( \frac{dS_{\mu}}{d\mu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) \sinh^{2} \mu = \Gamma_{\mu}
\left( \frac{dS_{\nu}}{d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) \sin^{2} \nu  = - \Gamma_{\mu}

其中,\Gamma_{\mu} 是運動常數。

這樣,可以完全地分離 HJE 。

拋物柱面坐標系[编辑]

採用拋物柱面坐標 (\sigma,\ \tau,\ z) ,假設假設一個物理系統的哈密頓量為

\mathcal{H}= \frac{p_{\sigma}^{2} + p_{\tau}^{2}}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2}\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m}  + U(\sigma,\ \tau,\ z)

其中,(p_{\sigma},\ p_{\tau},\ p_z) 是廣義動量,U位勢函數,不含時間。

那麼,哈密頓-雅可比方程可以表達為

\mathcal{H}=\frac{1}{2m (\sigma^2 + \tau^2)}\left[ \left(\frac{\partial S}{\partial \sigma}\right)^2+\left(\frac{\partial S}{\partial \tau}\right)^2\right]
+ \frac{1}{2m}\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2}  + U(\sigma,\ \tau,\ z)+\frac{\partial S}{\partial t}=0

假若,位勢函數 U(\sigma,\ \tau,\ z) 的形式可以進一步設定為

U(\sigma,\ \tau,\ z) = \frac{U_{\sigma}(\sigma) + U_{\tau}(\tau)}{\sigma^{2} + \tau^{2}} + U_{z}(z)

其中,U_{\sigma}(\sigma)U_{\tau}(\tau)U_{z}(z) ,都是任意函數;則 HJE 是完全可分的。猜想一個完全分離解答 S = S_{\sigma}(\sigma) + S_{\tau}(\tau) + S_{z}(z) - a_{\mathcal{H}}t 。將這猜想公式代入 HJE ,

\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) + 
\frac{1}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)} \left[ \left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau)\right] = a_{\mathcal{H}}

公式左手邊的前兩個項目只跟變量 z 有關;其它的項目都跟 z 無關。所以,可以將那兩個項目分離出來,成為一個常微分方程:

\frac{1}{2m} \left( \frac{dS_{z}}{dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}

其中,\Gamma_{z} 是運動常數。

簡化的HJE跟 z 無關:

\left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau) = 2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) \left( a_{\mathcal{H}} - \Gamma_{z} \right)

這公式又可以分離成兩個相互獨立的常微分方程:

\left( \frac{dS_{\sigma}}{d\sigma} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m\sigma^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) = \Gamma_{\sigma}
\left( \frac{dS_{\tau}}{d\tau} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\tau}(\tau) + 2m \tau^{2} \left(\Gamma_{z} - a_{\mathcal{H}} \right) = - \Gamma_{\sigma}

其中,\Gamma_{\sigma} 是運動常數。

這樣,可以完全地分離HJE。

薛丁格方程式[编辑]

薛定諤將哈密頓類比延伸至波動力學與波動光學之間。[1]

「哈密頓類比」是威廉·哈密頓在研究古典力學時給出的理論,又稱為「光學-力學類比」;哈密頓指出,在古典力學裏粒子的運動軌道,就如同在幾何光學裏光線的傳播路徑;垂直於這軌道的等作用量曲面,就如同垂直於路徑的等傳播時間曲面;描述粒子運動的最小作用量原理,就如同描述光線傳播的費馬原理。哈密頓發現,使用哈密頓-雅可比方程式,可以推導出最小作用量原理與費馬原理;同樣的形式論,可以描述光的物理行為,不論光是由遵守費馬原理的光線組成,還是由遵守最小作用量原理的粒子組成。[1]

很多光的性質,例如,衍射干涉等等,無法用幾何光學的理論來作解釋,必須要用到波動光學的理論來證實。。這意味著幾何光學不等價於波動光學,幾何光學是波動光學的波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限案例。哈密頓又研究發現,使用哈密頓-雅可比方程式也可以描述波動光學裏遵守惠更斯原理的光波,只要將光線的等傳播時間曲面改為光波的波前。薛丁格尋思,古典力學與波動力學之間的關係,就如同幾何光學與波動光學之間的關係;哈密頓-雅可比方程式應該對應於波動力學的波動方程式在某種極限的案例,而這極限應該也是物質波波長超短於粒子軌道曲率半徑的極限(或按照對應原理,普朗克常數趨於0的極限);按照先前哈密頓類比的模式,依樣畫葫蘆,應該可以找到正確形式的波動方程式。這想法很正確,經過一番努力,他成功地推導出薛丁格方程式[1][2]

粒子方程式⇒波動方程式[编辑]

設想一個粒子,運動於一個保守的位勢 U(\mathbf{r}) ,它的哈密頓-雅可比方程為[2]

\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0

其中,S(\mathbf{r},\ \boldsymbol{a};\ t) 是哈密頓主函數。

由於位勢與時間無關,哈密頓主函數可以分離成兩部分:

S = W(\mathbf{r},\ \boldsymbol{ a}) -  Et

其中,不含時的函數 W(\mathbf{r},\ \boldsymbol{ a}) 是哈密頓特徵函數,E 是能量。

將哈密頓主函數的公式代入哈密頓-雅可比方程,稍加運算,可以得到

|\boldsymbol{\nabla} S|= \sqrt{2m(E-U)}

哈密頓主函數對於時間的全導數是

\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}

哈密頓主函數 S 的常數等值曲面 \sigma_0 在空間移動的方程式為

0=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}= - E +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}

所以,在設定等值曲面的正負面後,\sigma_0 朝著法線方向移動的速度 u

u=\frac{dr}{dt}=\frac{E}{|\nabla S|}=\frac{E}{ \sqrt{2m(E - U)}}

這速度 u相速度,而不是粒子的移動速度 v

v=\frac{|\boldsymbol{\nabla} S|}{m}=\sqrt{\frac{2(E-U)}{m}}

想像 \sigma_0 為一個相位曲面。既然粒子具有波粒二象性,試著給予粒子一個相位與 S 成比例的波函數

\Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{iS/\kappa}

其中,\kappa 是常數,A(\mathbf{r}) 是跟位置有關的係數函數。

將哈密頓主函數的公式代入 \Psi(\mathbf{r},\,t) 波函數,

\Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\kappa}

注意到 E/\kappa 的因次必須是頻率,薛丁格突然想到愛因斯坦的光電效應理論 E=\hbar \omega ;其中,\hbar 約化普朗克常數\omega角頻率。他嘗試設定 \kappa=\hbar ,粒子的波函數 \Psi 變為

\Psi(\mathbf{r},\,t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\hbar}=\psi(\mathbf{r})e^{ - iEt/\hbar}

其中,\psi(\mathbf{r})=A(\mathbf{r})e^{iW(\mathbf{r})/\hbar}

\Psi(\mathbf{r},\,t)波動方程式

\nabla^2 \Psi - \frac{1}{u^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=0

\Psi(\mathbf{r},\,t) 波函數代入波動方程式, 經過一番運算,得到

\nabla^2 \Psi - \frac{E^2}{\hbar^2u^2}\Psi=\nabla^2 \Psi - \frac{2m(E - U)}{\hbar^2}\Psi=0

注意到 E\Psi=i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t} 。稍加編排,可以推導出含時薛丁格方程式:

 - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t) +U\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}

波動方程式⇒粒子方程式[编辑]

逆反過來,從薛丁格方程式開始:[3]:102-103

 - \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},\,t) +U\Psi(\mathbf{r},\,t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},\,t)}{\partial t}

猜想 \Psi 的形式為

\Psi = \psi(\mathbf{r}) e^{iS(\mathbf{r},\,t)/\hbar}

\Psi 代入薛丁格方程式,稍加運算,可以得到

\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \nabla^{2} S

這薛丁格方程式的經典極限(\hbar \rightarrow 0)與哈密頓-雅可比方程相等:

\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0

重力場[编辑]

重力場可以用哈密頓-雅可比方程表達為

g^{ik}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{i}}}\frac{\partial{S}}{\partial{x^{k}}} - m^{2}c^{2} = 0

其中,g^{ik}度規張量逆變 (contravariant) 分量,m 是固有質量,c光速

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Joas, Christian; Lehner, Christoph. The classical roots of wave mechanics: Schrödinger's transformations of the optical-mechanical analogy. Studies in History and Philosophy of Modern Physics. 2009, 40 (4): 338–351. ISSN 1355-2198. 
  2. ^ 2.0 2.1 薛丁格, 埃爾溫, An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules (PDF), Phys. Rev.. December 1926, 28 (6): 1049–1070, doi:10.1103/PhysRev.28.1049, 英文版本 
  3. ^ Sakukrai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics. 2nd, Addison-Wesley. 2010, ISBN 978-0805382914 
  1. Hamilton W. (1833) "On a General Method of Expressing the Paths of Light, and of the Planets, by the Coefficients of a Characteristic Function", Dublin University Review, pp. 795-826。
  2. Hamilton W. (1834) "On the Application to Dynamics of a General Mathematical Method previously Applied to Optics", British Association Report, pp.513-518。
  3. Eisenhart L.P., "Separable Systems of Stackel", "The Annals of Mathematics", 2nd Ser., Vol. 35, No. 2 (Apr., 1934), pp. 284-305
  4. Eisenhart L.P., "Separable Systems in Euclidean 3-Space", "Physical Review", vol. 45, Issue 6, pp. 427-428。
  5. H. Goldstein. Classical Mechanics. Addison Wesley. 2002. ISBN 0-201-65702-3. 
  6. A. Fetter and J. Walecka. Theoretical Mechanics of Particles and Continua. Dover Books. 2003. ISBN 0-486-43261-0. 
  7. Landau L.D., Lifshitz L.M., "Mechanics", Elsevier, Amsterdam … Tokyo, 1975。