哈德維格-納爾遜問題

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Hadwiger-Nelson problem.png

Hadwiger–Nelson問題是:在平面上為每點填色,最少要多少種顏色,才能使若兩點距離為1,其顏色必定不相同呢?用圖論的語言可這樣敍述:設G為,G的頂點是平面上的所有點,兩個頂點相鄰若且唯若它們在平面上的距離為1,求G的點色數。這個問題等於求任意G的有限子集的最大點色數[1]

這個問題的下界是4,上界是7。

只有三種顏色無法完成的證明如下:平面上任取一點A,設其顏色為x,以其為圓心,分別以1和\sqrt 3為半徑做圓。在半徑\sqrt 3的圓上任取一點B,以其為圓心1為半徑做圓,交以A為圓心1為半徑的圓與C和D,則C與D的距離為1,所以A、C、D顏色必須各不相同,設C、D的顏色分別為y、z。B、C、D的顏色也必須各不相同,所以B的顏色只能是x,所以以A為圓心\sqrt 3為半徑的圓上所有的點的顏色都必須為x,在其上選擇兩個相距為1的點,它們的顏色相同,與題設矛盾。

另一方面,將平面劃成以外接圓直徑略少於1的正六邊形密鋪,以七種顏色填上,使得一個正六邊形和相鄰的六個正六邊形的顏色不同。這樣的密舖符合距離為1的點顏色不相同,所以上界是7。

歷史[编辑]

這個問題由E. Nelson在1950年提出,馬丁·加德納在1960年的《科學美國人》雜誌公開發表。Hugo Hadwiger在1945年曾發表一個相關的定理[2][3]

變化[编辑]

  • 三維空間:上界15,下界6
  • 限制某種顏色的集的性質。例如要求每種顏色的集都是勒贝格可测的,則下界為5。[4]

參考[编辑]

  1. ^ de Bruijn, N.G.; Erdős, P. (1951). "A colour problem for infinite graphs and a problem in the theory of relations". Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 54: 371–373.
  2. ^ Hadwiger, Hugo (1945). "Überdeckung des euklidischen Raumes durch kongruente Mengen". Portugal. Math. 4: 238–242.
  3. ^ Jensen, Tommy R.; Toft, Bjarne (1995). Graph Coloring Problems. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics and Optimization, 150–152.
  4. ^ Croft, Hallart T.; Falconer, Kenneth J.; Guy, Richard K. (1991). Unsolved Problems in Geometry. Springer-Verlag, Problem G10.
  • Chilakamarri, K. B. (1993). "The unit-distance graph problem: a brief survey and some new results". Bull Inst. Combin. Appl. 8: 39–60.