哈斯圖

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哈斯圖英語Hasse 发音为 /ˈhæsə/, 德語: /ˈhasə/)、在數學分支序理論中,是用來表示有限偏序集的一種數學圖表,它是一種圖形形式的對偏序集的傳遞簡約。具體的說,對於偏序集合(S, ≤),把S的每個元素表示為平面上的頂點,並繪製從x到y向上的線段或弧線,只要y 覆蓋x(就是說,只要x < y並且沒有z使得x < z < y)。這些弧線可以相互交叉但不能觸及任何非其端點的頂點。帶有標註的頂點的這種圖唯一確定這個集合的偏序。

哈斯圖得名於Helmut Hasse(1898年–1979年);依據Birkhoff (1948),這麼叫是因為Hasse有效的利用了它們。但是Hasse不是第一個使用它們的人,它們早就出現在如Vogt (1895)中。儘管哈斯圖被設計為手工繪製偏序集合的技術,最近已經使用圖繪製技術自動來生成它們了。[1]

術語“哈斯圖”還可以稱呼作為抽象有向無環圖的傳遞簡約,獨立於這個圖的任何繪製形式,但是這裡不採用這種用法。

例子[编辑]

Hasse diagram of powerset of 3.svg
  • 所有60的除數的集合A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 },按整除性排序,有哈斯圖:
Lattice of the divisibility of 60.svg
  • 集合{ 1, 2, 3, 4 }的所有15個劃分,按精細度(就是更細劃分小於更粗劃分)排序,有哈斯圖:
Lattice of partitions of an order 4 set.svg

好的哈斯圖[编辑]

儘管哈斯圖是簡單的處理有限偏序集的直觀工具,繪製出好的哈斯圖是非常困難的。原因是對於給定偏序集有任意多種可能的繪圖方式。簡單的技術就是開始於這個次序的最小元並逐步增加上更大的元素,這經常產生非常窘迫的結果:很容易丟失了這個次序的對稱性和內部結構。

下面的例子展示這個問題。考慮集合S = {a, b, c, d}的冪集\mathcal{P}(S) \,,就是說S的所有自己的集合,按照子集包含\subseteq來排序。下面是這個偏序的三個不同哈斯圖:

Hypercubeorder.svg     Hypercubecubes.svg     Hypercubestar.svg

通過使得在這個冪集中每個集合的y坐標成比例於集合的,最左圖示展示了這個冪集是等級偏序集。中間圖示有相同的等級結構,但使得某些邊比其他邊長,它把這個冪集的結構強調為兩個三維立方體的聯合:在兩個立方體中下面的那個中的頂點表示不包含S的某個特定元素比如d的集合,而上面立方體的頂點表示包含d的集合。最右圖示展示了這個結構的某種內部對稱性。

註釋[编辑]

引用[编辑]

外部鏈接[编辑]