哥德爾本體論證明

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哥德爾本體論證明是數學家库尔特·哥德尔安瑟倫對於神存在性的本體論論點整理後所作的數學表達方式。安瑟倫的論點用最簡潔的表達如下:「God, by definition, is that than which a greater cannot be thought. God exists in the understanding. If God exists in the understanding, we could imagine Him to be greater by existing in reality. Therefore, God must exist.」一個較複雜的版本由戈特弗里德·威廉·莱布尼茨提出,而這個就是哥德爾所研究並嘗試用其本體論邏輯論點去澄清的版本。

雖然哥德爾有宗教信仰,他從未發表這個證明。他在1970年代不斷將這個論點向身邊的朋友們展示,他去世九年後,即1987年,這論點才被出版。

證明[编辑]

以符號表達( G 解像神特性,P(\varphi)\varphi 為正, \varphi(x) 解 x 擁有 \varphi 特性,E 解必需存在, \varphi\;\operatorname{ess}\;x\varphi 是 x 的本質(essence),\Box 表示必然性,而 \Diamond 表示可能性):


\begin{array}{rl}
\mbox{Ax. 0.} & \Box\; \exists \varphi\; P(\varphi)\\

\mbox{Ax. 1.} & \Box\; \forall x \lbrace [\varphi(x) \rightarrow \psi(x)] \land P(\varphi)\rbrace \rightarrow P(\psi)\\

\mbox{Ax. 2.} & P(\neg \varphi) \leftrightarrow \neg P(\varphi)\\

\mbox{Th. 1.} & P(\varphi) \rightarrow \Diamond\; \exists x\; [\varphi(x)]\\

\mbox{Df. 1.} & G(x) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \rightarrow \varphi(x)]\\

\mbox{Ax. 3.} & P(G)\\

\mbox{Th. 2.} & \Diamond\; \exists x\; G(x)\\

\mbox{Df. 2.} & \varphi\;\operatorname{ess}\;x \iff \varphi(x) \land \forall\psi\lbrace\psi(x) \rightarrow \Box\; \forall x[\varphi(x) \rightarrow \psi(x)]\rbrace\\

\mbox{Ax. 4.} & P(\varphi) \rightarrow \Box\; P(\varphi)\\

\mbox{Th. 3.} & G(x) \rightarrow G\;\operatorname{ess}\;x\\

\mbox{Df. 3.} & E(x) \iff \forall \varphi[\varphi\;\operatorname{ess}\;x \rightarrow \Box\; \exists x\; \varphi(x)]\\

\mbox{Ax. 5.} & P(E)\\

\mbox{Th. 4.} & \Box\; \exists x\; G(x)
\end{array}

語譯[编辑]

公設 0:在所有特性中挑出正特性\varphi是可能的。(i.e.在所有特性當中,我們總得界別其中一些為善,否則定義善特性已經沒意思了。)

公設 1:任何由一個正特性\varphi所導出的特性\psi必然為正。

公設 2:假如一個特性\varphi邏輯非為正,那\varphi為非正。(i.e.特性\varphi與非\varphi必為一善一邪)

定理 1:如果一個特性\varphi為正,那它是相容(consistent)的,即是,\varphi可能找得到例子(exemplified)。(i.e.世上總有些善的東西。)

定義 1:x像神若且唯若x擁有所有正特性。(i.e.擁有所有善特性的才能稱得上神)

公設 3:像神特性G為正(i.e.能稱得上神,是一種善的特性)

定理 2:可能存在一個物體x像神(i.e.神可能存在)。

定義 2 ?\varphi是x的本質(essence)若且唯若「對於每一個特性\psi,x必需有\psi若且唯若\varphi導出\psi」(\varphi is an essence of x iff for every property \psi, x has \psi necessarily iff \varphi entails \psi)

公設 4:假如一個特性\varphi為正,那\varphi必需為正。

定理 3:假若一件物體x像神,那使其像神的特性G是x的本質(essence)。

定義 3:x必需存在若且唯若x的每一個本質(essence)\varphi必需能找得到例子(exemplified)

公設 5:「必需存在」E為正。

定理 4:像神的特性G必定能找到例子(exemplified)(i.e.即神存在)。


安瑟倫的論點[编辑]

安瑟倫的論點用最簡潔的表達如下:「God, by definition, is that than which a greater cannot be thought(i.e.G(x) \iff \forall \varphi[P(\varphi) \rightarrow \varphi(x)]). God exists in the understanding(i.e.\Diamond\; \exists x\; G(x)). If God exists in the understanding, we could imagine Him to be greater by existing in reality. Therefore, God must exist.\Box\; \exists x\; G(x)

模态逻辑[编辑]

證明用上了模态逻辑,分開了必需的真與偶然的真。\Box 表示必然性,而 \Diamond 表示可能性,且

\Diamond p = \lnot\, \Box\, \lnot\, p;及
\Box p = \lnot\, \Diamond\, \lnot\, p

公設[编辑]

我們先假設以下公設

公設 0: 在所有特性中挑出特性是可能的。哥德爾定義正特性頗不清晰:「正解作在道德美學上為正(independently of the accidental structure of the world)......It may also mean pure attribution as opposed to privation (or containing privation)." (Gödel 1995)

然後我們假設對於所有正特性,以下三個條件正確(可被總結為「那些正特性們形成了一個超滤子」):

公設 1: 假如 P 為正且 P 導出 Q,那 Q 也是正。
公設 2: 假如 P 是一個特性,那要麼P與其邏輯非,有一個且只有一個為正。
公設 ?: 假如 P1, P2, P3, ..., Pn 也是正特性,那特性(P1 AND P2 AND P3 ... AND Pn)同樣為正。

最後,我們假設:

公設 5: 必需存在性是一個正特性 (Pos(NE)). This mirrors the key assumption in Anselm's argument.

現在我們定義一個新特性G:假如x是一些可能世界中的物體,那G(x) 為真若且唯若對於那些相同世界中所有的正特性PP(x)為真。G被稱為像神特性。一個擁有像神特性的物體x,會被稱為神。

参见[编辑]

參考文獻[编辑]

  • C. Anthony Anderson, "Some Emendations of Gödel's Ontological Proof", Faith and Philosophy, Vol. 7, No 3, pp. 291–303, July 1990
  • Kurt Gödel (1995). "Ontological Proof". Collected Works: Unpublished Essays & Lectures, Volume III. pp. 403–404. Oxford University Press. ISBN 0195147227
  • A. P. Hazen, "On Gödel's Ontological Proof", Australasian Journal of Philosophy, Vol. 76, No 3, pp. 361–377, September 1998
  • Jordan Howard Sobel, "Gödel's Ontological Proof" in On Being and Saying. Essays for Richard Cartwright, ed. Judith Jarvis Thomson (MIT press, 1987)
  • Melvin Fitting, "Types, Tableaus, and Godel's God" Publisher: Dordrecht Kluwer Academic ©2002, ISBN 1402006047 9781402006043

外部連結[编辑]