唯一量化

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谓词逻辑和依赖于它的技术领域中,唯一量化唯一存在量化,尝试形式化对于“精确”的一个事物,或对于精确的特定类型的一个事物为真的某个事物的概念。唯一量化的一般化是计数量化英语Counting quantification

例如:

恰有一个自然数 x 使得 x - 2 = 4。

符号化写为:

∃!xN, x - 2 = 4

符号 ∃! 叫做“唯一量词”或“唯一存在量词”。它通常读做“有一个且只有一个”,“存在唯一一个” (存在着这个符号的在文法上和如何阅读上的多个变体)。

简约为普通量词[编辑]

唯一量化通常被认为是全称量化(“对于所有”,∀)、存在量化(“对于某个”,∃)和等式(“等于”,=)的组合。因此,如果 P(x) 是要在其上量化的谓词(在我们上面例子中的 P(x) 是 “x - 2 = 4”),那么 ∃!x, P(x) 意味着:

\exists x (P(x) \land \forall y (P(y) \rightarrow x = y))

“正好存在一个 x 使得 P(x)”的陈述还可以写为两个更弱的陈述的逻辑合取。其中第一个简单的存在量化:∃xP(x)。第二个是唯一性,有些人写为 !x, P(x)。它被定义为: ∀x, ∀y, P(x) ∧ P(y) → x = y

这两个陈述的合取

\exists x\,P(x) \land \forall x\, \forall y\,(P(x) \land P(y) \to x = y)

逻辑等价于前面给出的单一陈述。但是实际上,证明唯一存在性通常要分别证明这两个陈述。

参见[编辑]